система-неравенств - Система неравенств

В первом неравенстве положим $%a=2^{\sqrt{x}}$%, $%b=3^{\sqrt{x}}$%. Тогда $%ab-30a-4b+120\le0$%, то есть $%(a-4)(b-30)\le0$%. Решая неравенство методом интервалов относительно переменной $%\sqrt{x}$%, получаем $%2\le\sqrt{x}\le\log_3{30}$%.

Второе неравенство можно переписать в виде $%x^x(x-1/7) > 7^x(x-1/7)$%. Множитель $%x-1/7$% положителен (мы знаем, что $%x\ge4$%), и на него можно сократить. Получается $%x^x > 7^x$%, то есть $%(x/7)^x > (x/7)^0$%. Поскольку $%x > 0$%, из свойств показательной функции имеем $%x/7 > 1$%, то есть $%x > 7$%.

Теперь надо сравнить такие числа как $%\sqrt{7}$% и $%\log_3{30}$%. Второе число больше, так как оно больше трёх, а первое -- меньше трёх. В итоге $%x\in(7,(\log_3{30})^2]$%.