Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Площадь треугольника ADM больше площади треугольника BCM. Точки P и Q - середины сторон BC и AD соответственно, AP + AQ = sqrt(2). Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD меньше 1.

задан 1 Май 20:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%DM=\beta\cdot BM\ , \ AM=\alpha\cdot CM$%. Тогда : $%\alpha\cdot \beta \ge 1$%

$$S_{ABCD}=(1+\alpha)(1+\beta)S_{BMC}$$ $$ S_{ABD}=\alpha (1+\beta)S_{BMC}\ ,\ S_{ACD}=\beta (1+\alpha)S_{BMC}\Rightarrow$$ $$ S_{BQC}=S_{ABCD}-\dfrac {1}{2}S_{ABD}-\dfrac {1}{2}S_{ACD}=S_{BMC}\left (1+\dfrac {\alpha+\beta}{2}\right)$$ $$S_{ABC}=(1+\alpha)S_{BMC}\ ,\ S_{DBC}=(1+\beta)S_{BMC}\Rightarrow$$ $$S_{APD}=S_{ABCD}-\dfrac {1}{2}S_{ABC}-\dfrac {1}{2}S_{BCD}=S_{BMC}\left (\dfrac {\alpha+\beta}{2}+\alpha\beta\right)\ge S_{BQC}$$

$$S_{ABCD}=S_{APD}+S_{BQC}\le 2S_{APD}\le 2AP\cdot AQ \le \dfrac {(AP+AQ)^2}{2}=1$$

ссылка

отвечен 2 Май 20:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,119
×790
×264

задан
1 Май 20:46

показан
172 раза

обновлен
2 Май 20:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru