При каких неотрицательных значениях параметра а отрезок [0.5;5] принадлежит области допустимых значений функции
f(x)= корень из(2x-a) - x^2 + ax - 1
и наибольшее значение функции f(x) на этом отрезке больше -1/8

задан 5 Окт '13 12:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$f(x)=\sqrt{2x-a}-x^2+ax-1$$

Нужно, чтобы выполнялось неравенство $%2x-a\ge0$% для всех $%x\in[1/2;5]$%. Это значит, что далее надо рассматривать только $%a\in[0;1]$% -- с учётом неотрицательности.

Наибольшее значение на отрезке $%[1/2;5]$% функция принимает либо на концах, либо в критической точке. Для выявления последней находим производную и приравниваем её к нулю: $$f'(x)=\frac1{\sqrt{2x-a}}-2x+a=0,$$ откуда видно, что $%2x-a=1$%, то есть $%x=(a+1)/2$%. Это число принадлежит отрезку $%[1/2;5]$%, то есть его следует рассматривать. Значение функции в этой точке равно $%(a^2-1)/4$%. Оно будет больше $%-1/8$% при $%a > \sqrt{2}/2$%. Такие значения подходят, но в общем случае могут подходить и другие -- если наибольшее значение функция принимает на конце отрезка.

Рассмотрим левый конец отрезка: $%f(1/2)=\sqrt{1-a}+a/2-5/4$%. Удобное сделать замену вида $%b=\sqrt{1-a}$%, в результате чего $%f(1/2)=b+(1-b^2)/2-5/4=-b^2/2+b-3/4 > -1/8$% превращается в невозможное неравенство $%b^2-2b+5/4 < 0$%. Для правого конца отрезка $%f(5)=\sqrt{10-a}+5a-26$%, и здесь сразу ясно, что при $%a\in[0;1]$% эта величина будет заведомо меньше $%-1/8$%.

Таким образом, подходят только $%a\in(\sqrt{2}/2;1]$%.

ссылка

отвечен 5 Окт '13 13:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

$% D(f)=[\frac a2;\infty], $% определяется из неравенства $%2x-a\ge0.$% Значит чтобы найти ответ первого вопроса, надо решить неравенство $%0\le\frac a2\le0,5 \Leftrightarrow 0\le a\le 1 \Leftrightarrow 0,5\le \frac{a+1}2\le 1 .$%

$% f^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-a}}-(2x-a).$%

$%f^{'}(x)\ge0 \Leftrightarrow x\in[\frac a2; \frac{a+1}2].$% В этом промежутке функция возрастает.

$%f^{'}(x)\le0 \Leftrightarrow x\in [\frac{a+1}2;\infty). $% Здесь функция убывает.

И так $%0,5<\frac{a+1}2<5$%, то $%max f(x)=f(\frac{a+1}2)(x\in[0,5;5]).$%

Остается решить неравенство $%f(\frac{a+1}2)>-\frac18, $% с учетом условия $%0\le a\le 1$% .

Надеюсь эту нетрудную работу успешно сделаете сами.

ссылка

отвечен 5 Окт '13 12:56

изменен 5 Окт '13 13:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,437
×2,224
×463
×271
×112

задан
5 Окт '13 12:21

показан
1084 раза

обновлен
5 Окт '13 13:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru