алгебра - При каких неотрицательных значениях параметра а

$$f(x)=\sqrt{2x-a}-x^2+ax-1$$

Нужно, чтобы выполнялось неравенство $%2x-a\ge0$% для всех $%x\in[1/2;5]$%. Это значит, что далее надо рассматривать только $%a\in[0;1]$% -- с учётом неотрицательности.

Наибольшее значение на отрезке $%[1/2;5]$% функция принимает либо на концах, либо в критической точке. Для выявления последней находим производную и приравниваем её к нулю: $$f'(x)=\frac1{\sqrt{2x-a}}-2x+a=0,$$ откуда видно, что $%2x-a=1$%, то есть $%x=(a+1)/2$%. Это число принадлежит отрезку $%[1/2;5]$%, то есть его следует рассматривать. Значение функции в этой точке равно $%(a^2-1)/4$%. Оно будет больше $%-1/8$% при $%a > \sqrt{2}/2$%. Такие значения подходят, но в общем случае могут подходить и другие -- если наибольшее значение функция принимает на конце отрезка.

Рассмотрим левый конец отрезка: $%f(1/2)=\sqrt{1-a}+a/2-5/4$%. Удобное сделать замену вида $%b=\sqrt{1-a}$%, в результате чего $%f(1/2)=b+(1-b^2)/2-5/4=-b^2/2+b-3/4 > -1/8$% превращается в невозможное неравенство $%b^2-2b+5/4 < 0$%. Для правого конца отрезка $%f(5)=\sqrt{10-a}+5a-26$%, и здесь сразу ясно, что при $%a\in[0;1]$% эта величина будет заведомо меньше $%-1/8$%.

Таким образом, подходят только $%a\in(\sqrt{2}/2;1]$%.