Последовательные стороны четырехугольника ABCD равны 7см, 8см и 9см. Найдите наибольшие и наименьшие целые значения суммы диагоналей AC+BD.

задан 5 Окт '13 14:45

изменен 5 Окт '13 17:07

falcao's gravatar image


163k1129

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%AB=7$%, $%BC=8$%, $%CD=9$%. Из неравенства треугольника следует, что $%AC < AB+BC=15$%, $%BD < BC+CD=17$%. Отсюда $%AC+BD < 32$%, и ввиду целочисленности суммы длин получается $%AC+BD\le31$%. Построение, для которого достигается равенство, легко осуществить, полагая $%AC=14,5$% и $%BD=16,5$%. Для этого сначала строим треугольник $%ABC$% с заданными длинами (это возможно, так как самая длинная сторона меньше суммы двух оставшихся), а далее пристраиваем к нему треугольник $%BCD$%, располагая его в той же полуплоскости с границей $%BC$%, что и предыдущий треугольник. Сумма длин диагоналей при этом равна $%31$%. Это наибольшее значение.

Для нахождения наименьшего значения также воспользуемся неравенством треугольника, но уже другим способом. Я буду считать четырёхугольник выпуклым -- если это подразумевалось в условии. Это значит, что диагонали пересекаются в точке $%O$% внутри четырехугольника. Тогда $%OA+OB > AB=7$%, $%OC+OD > CD=9$%. Складывая неравенства, получаем, что сумма длин диагоналей больше $%16$%. (Здесь мы опираемся на то, что $%AC=AO+OC$% и $%BD=BO+OD$%.) В итоге оказывается, что $%AC+BD\ge17$%. Равенство достигается, если выбрать длины диагоналей равными $%AC=8$%, $%BD=9$% и осуществить следующее построение. Сначала строим равнобедренный треугольник $%ABC$%, в котором $%AB=7$%, $%BC=AC=8$%. Далее в той же полуплоскости с границей $%BC$% пристраиваем к нему другой равнобедренный треугольник, то есть $%BCD$%. В нём $%BC=8$%, $%BD=CD=9$%. В итоге возникает требуемый четырёхугольник. То есть наименьшее значение суммы длин диагоналей составляет $%17$%.

Если допускаются также и невыпуклые четырёхугольники -- когда одна из диагоналей может проходить вне четырёхугольника, то можно осуществить построение, в котором сумма диагоналей равна трём, и это значение оказывается наименьшим.

ссылка

отвечен 5 Окт '13 17:21

spasibo bolsoe

(5 Окт '13 21:26) samir
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%AB=7sm, BC=8sm, CD=9sm.$%

Согласно неравенству треугольника:

$%1sm=BC-AB< AC< AB+BC=15sm,$%

$% 1sm=DC-CB< BD< CB+DC=17 sm $%

$%\Rightarrow 2 sm < AC+BD< 32 sm .$%

В этом промежутке наибольшее целое значение $%31см$% получится, например, при $%AC=14,5см, BD=16,5см,$% а наименьшее целое значение $%3 см$% получится, например, при $%AC=1,5см, BD=1,5см.$% Легко построить такие четырехугольники, последовательно построив две треугольники $%ABC$% и $%BCD,$% по трем сторонам.

ссылка

отвечен 5 Окт '13 17:33

Кажется я опазадала .

(5 Окт '13 17:34) ASailyan

Есть такая формула $%\frac{p}2< AC+BD < p$%

(5 Окт '13 17:42) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×529

задан
5 Окт '13 14:45

показан
1228 раз

обновлен
5 Окт '13 21:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru