планиметрия - Сумма диагоналей четырехугольника

Пусть $%AB=7$%, $%BC=8$%, $%CD=9$%. Из неравенства треугольника следует, что $%AC < AB+BC=15$%, $%BD < BC+CD=17$%. Отсюда $%AC+BD < 32$%, и ввиду целочисленности суммы длин получается $%AC+BD\le31$%. Построение, для которого достигается равенство, легко осуществить, полагая $%AC=14,5$% и $%BD=16,5$%. Для этого сначала строим треугольник $%ABC$% с заданными длинами (это возможно, так как самая длинная сторона меньше суммы двух оставшихся), а далее пристраиваем к нему треугольник $%BCD$%, располагая его в той же полуплоскости с границей $%BC$%, что и предыдущий треугольник. Сумма длин диагоналей при этом равна $%31$%. Это наибольшее значение.

Для нахождения наименьшего значения также воспользуемся неравенством треугольника, но уже другим способом. Я буду считать четырёхугольник выпуклым -- если это подразумевалось в условии. Это значит, что диагонали пересекаются в точке $%O$% внутри четырехугольника. Тогда $%OA+OB > AB=7$%, $%OC+OD > CD=9$%. Складывая неравенства, получаем, что сумма длин диагоналей больше $%16$%. (Здесь мы опираемся на то, что $%AC=AO+OC$% и $%BD=BO+OD$%.) В итоге оказывается, что $%AC+BD\ge17$%. Равенство достигается, если выбрать длины диагоналей равными $%AC=8$%, $%BD=9$% и осуществить следующее построение. Сначала строим равнобедренный треугольник $%ABC$%, в котором $%AB=7$%, $%BC=AC=8$%. Далее в той же полуплоскости с границей $%BC$% пристраиваем к нему другой равнобедренный треугольник, то есть $%BCD$%. В нём $%BC=8$%, $%BD=CD=9$%. В итоге возникает требуемый четырёхугольник. То есть наименьшее значение суммы длин диагоналей составляет $%17$%.

Если допускаются также и невыпуклые четырёхугольники -- когда одна из диагоналей может проходить вне четырёхугольника, то можно осуществить построение, в котором сумма диагоналей равна трём, и это значение оказывается наименьшим.