стереометрия - Угол между плоскостями

Я не уверен, что такой способ будет наилучшим, но я бы в этой задаче использовал метод координат. Его преимущество в том, что не надо осуществлять никаких построений, не надо ничего представлять себе в пространстве, и так далее.

Начало координат можно выбрать в точке $%A(0,0,0)$%, ось абсцисс направить по лучу $%AC$%, полагая $%C(6,0,0)$%. (Длину основания можно считать какой угодно, так как от этого ничего не зависит.) Ось ординат направим в плоскости треугольника $%ABC$% таким образом, чтобы точка $%B$% приобрела положительную ординату. Из простейших свойств правильного треугольника ясно, что $%B(3,3\sqrt{3},0)$%. Третью ось направим по лучу $%AA_1$%. Координаты всех точек теперь известны: $%K_1(4,0,0)$%, $%K_2(2,0,0)$% и так далее; у точек верхнего основания призмы первые две координаты будут такими же, как у нижних, а третья координата будет равна $%6$%.

Теперь легко написать уравнение плоскости $%ABC_1$% по трём точкам. У меня получилось $%\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}z=0$%, но рекомендуется пересчитать самостоятельно. При этом стал известен вектор нормали к данной плоскости: это $%(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})$%. Для нахождения углов между плоскостями достаточно найти углы между перпендикулярами к этим плоскостям, на чём и основан данный подход.

Разберём случай плоскости $%A_1BK_2$%, то есть пункт в). Уравнение этой плоскости будем искать в виде $%ax+by+cz=d$% с неопределёнными коэффициентами. Подставим в это уравнение координаты $%(x,y,z)$% точки $%A_1$%. Это даёт $%6c=d$%. Аналогично поступаем с точками $%B$% и $%K_2$%, что даёт ещё два уравнения. В итоге с точностью до постоянного множителя получается уравнение плоскости вида $%9x-\sqrt{3}y+3z=18$%. Нам нужен её вектор нормали, и он равен $%(9,-\sqrt{3},3)$%.

Теперь у нас есть два вектора нормали к плоскостям, и надо найти угол между ними. Здесь надо учесть, что угол между векторами принимает значения от $%0$% до $%\pi$%, а угол между прямыми, как и угол между плоскостями, изменяется от $%0$% до $%\pi/2$%. Это значит, что если угол между векторами превысил $%\pi/2$%, то надо его заменить на угол, дополнительный до $%\pi$%.

Осталось найти скалярное произведение векторов; если оно отрицательно, то сменить знак (что как раз соответствует выбору острого угла взамен тупого). Поделив на произведение длин векторов, мы получим косинус угла между плоскостями, и далее останется рассмотреть аррккосинус найденного значения. У меня получилось $%\arccos\sqrt{\frac7{31}}$%, но опять-таки рекомендуется перепроверить.

Остальные пункты решаются по точно такой же схеме.