Боковое ребро правильной призмы АВСА1В1С1 равно стороне основания. На стороне АС взяты точки К1 и К2 - такие что СК1=К1К2=К2А. Найти углы, которые образует плоскость АВС1 со следующими плоскостями: а) А1ВС б) А1ВК1 в) А1ВК2

задан 5 Окт '13 17:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я не уверен, что такой способ будет наилучшим, но я бы в этой задаче использовал метод координат. Его преимущество в том, что не надо осуществлять никаких построений, не надо ничего представлять себе в пространстве, и так далее.

Начало координат можно выбрать в точке $%A(0,0,0)$%, ось абсцисс направить по лучу $%AC$%, полагая $%C(6,0,0)$%. (Длину основания можно считать какой угодно, так как от этого ничего не зависит.) Ось ординат направим в плоскости треугольника $%ABC$% таким образом, чтобы точка $%B$% приобрела положительную ординату. Из простейших свойств правильного треугольника ясно, что $%B(3,3\sqrt{3},0)$%. Третью ось направим по лучу $%AA_1$%. Координаты всех точек теперь известны: $%K_1(4,0,0)$%, $%K_2(2,0,0)$% и так далее; у точек верхнего основания призмы первые две координаты будут такими же, как у нижних, а третья координата будет равна $%6$%.

Теперь легко написать уравнение плоскости $%ABC_1$% по трём точкам. У меня получилось $%\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}z=0$%, но рекомендуется пересчитать самостоятельно. При этом стал известен вектор нормали к данной плоскости: это $%(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})$%. Для нахождения углов между плоскостями достаточно найти углы между перпендикулярами к этим плоскостям, на чём и основан данный подход.

Разберём случай плоскости $%A_1BK_2$%, то есть пункт в). Уравнение этой плоскости будем искать в виде $%ax+by+cz=d$% с неопределёнными коэффициентами. Подставим в это уравнение координаты $%(x,y,z)$% точки $%A_1$%. Это даёт $%6c=d$%. Аналогично поступаем с точками $%B$% и $%K_2$%, что даёт ещё два уравнения. В итоге с точностью до постоянного множителя получается уравнение плоскости вида $%9x-\sqrt{3}y+3z=18$%. Нам нужен её вектор нормали, и он равен $%(9,-\sqrt{3},3)$%.

Теперь у нас есть два вектора нормали к плоскостям, и надо найти угол между ними. Здесь надо учесть, что угол между векторами принимает значения от $%0$% до $%\pi$%, а угол между прямыми, как и угол между плоскостями, изменяется от $%0$% до $%\pi/2$%. Это значит, что если угол между векторами превысил $%\pi/2$%, то надо его заменить на угол, дополнительный до $%\pi$%.

Осталось найти скалярное произведение векторов; если оно отрицательно, то сменить знак (что как раз соответствует выбору острого угла взамен тупого). Поделив на произведение длин векторов, мы получим косинус угла между плоскостями, и далее останется рассмотреть аррккосинус найденного значения. У меня получилось $%\arccos\sqrt{\frac7{31}}$%, но опять-таки рекомендуется перепроверить.

Остальные пункты решаются по точно такой же схеме.

ссылка

отвечен 5 Окт '13 18:26

в первом ответ неправильный, какой именно ответ я не знаю, но знаю что этот неправильный

(5 Окт '13 20:10) Amalia

Это ответ на третий пункт, а не на первый. В первом, кажется, получается $%\arccos\frac17$%.

(5 Окт '13 20:22) falcao

опять я неверно поняла, простите пожалуйста, а во втором пункте что?

(5 Окт '13 20:47) Amalia

По-моему, там $%\arccos\frac1{\sqrt{70}}$% в пункте б), но желательно перепроверить. Вообще, все эти три пункта отличаются одним параметром -- координатой точки на оси абсцисс. Поэтому удобнее всего было бы решать все три пункта вместе, вводя параметр $%k$% для абсциссы точки $%(k,0,0)$%.

(5 Окт '13 20:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Данную задачу можно решить, используя традиционный школьный подход, но для этого нужно иметь хорошее пространственное видение. Какая цель этих задач? Развитие пространственного представления? Если важен результат, то лучше применить для этой фигуры декартову систему координат. Так будет проще. При решении традиционным школьным способом, воспользуйтесь задачей по определению угла между плоскостями, если известны: длины перпендикуляров, проведенных к линии пересечения плоскостей, расстояние между основаниями этих перпендикуляров и расстоянием между точками, из которых опущены эти перпендикуляры. Привожу рисунок. Надеюсь, что из рисунка ясно как найти угол $%\gamma$% между плоскостями. alt text

ссылка

отвечен 5 Окт '13 18:07

изменен 5 Окт '13 19:15

Как решать я знаю, мне нужен результат, можете помочь?

(5 Окт '13 18:10) Amalia
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×409

задан
5 Окт '13 17:40

показан
1375 раз

обновлен
5 Окт '13 20:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru