стереометрия - Единичный куб

Рассмотрим сечения куба плоскостями, параллельными плоскости $%A_1D_1CB$%. Возьмём одну из таких плоскостей, расположенную ближе к ребру $%B_1C_1$%, и пусть эта плоскость пересекает ребро $%A_1B_1$% в точке, расположенной на расстоянии $%x\in[0;1]$% от $%B_1$%. Ясно, что в сечении получится прямоугольник со сторонами $%1$% и $%x\sqrt{2}$%; его центр лежит на оси вращения, перпендикулярной плоскости сечения. Поэтому после поворота на 90 градусов получится второй прямоугольник, пересекающийся с первым по квадрату со стороной $%x\sqrt{2}$%, если $%x\le\sqrt{2}/2$%, и по квадрату со стороной $%1$%, если $%x\ge\sqrt{2}/2$%.

При $%0\le x\le\sqrt{2}/2$% рассматриваемые квадраты, образованные пересечениями, образуют в объединении правильную четырёхугольную пирамиду, вершина которой есть середина $%K$% отрезка $%B_1C_1$%. В основании этой пирамиды лежит квадрат со стороной $%1$%, а её высота находится следующим образом. Расстояние до плоскости $%A_1D_1CB$% равно половине длины отрезка $%KL$%, где $%L$% -- середина $%AD$%. Очевидно, $%KL=\sqrt{2}$%, поэтому расстояние от $%K$% до плоскости $%A_1D_1CB$% равно $%\sqrt{2}/2$%. А расстояние до плоскости, соответствующей значению $%x=\sqrt{2}/2$% во столько же раз меньше, то есть искомая высота равна $%1/2$%. Это значит, что объём пирамиды равен $%1/6$%.

При $%\sqrt{2}/2\le x\le1$% получаются квадраты со стороной $%1$%, образующие прямоугольный параллелепипед. Его высота равна разности высот, то есть $%(\sqrt{2}-1)/2$%, и таков же его объём. В сумме пирамида и параллелепипед образуют объём $%\sqrt{2}/2-1/3$%, и это половина объёма искомой фигуры. Поэтому в ответе будет $%\sqrt{2}-2/3$%.