Попарно разные действительные числа $%a,b,c$% удовлетворяют условию $%a+1/b=b+1/c=c+1/a$%. Найти, каких значений может принимать произведение $%abc$%.

задан 5 Окт '13 23:20

10|600 символов нужно символов осталось
2

Первое равенство можно записать в виде $%a-b=1/c-1/b=\frac{b-c}{bc}$%. Из соображений симметрии, $%b-c=\frac{c-a}{ca}$% и $%c-a=\frac{a-b}{ab}$%. Перемножая три равенства и сокращая на разности (все они ненулевые), получаем $%(abc)^2=1$%, то есть $%abc=\pm1$%.

Далее остаётся привести примеры чисел, для которых произведение принимает оба этих значения. Можно взять $%a=1$%, $%b=-1/2$%, $%c=-2$%, и тогда все три числа из условия равны $%-1$%, а произведение $%abc$% равно $%1$%. Если взять те же числа с противоположными знаками, то произведение будет равно $%-1$%.

ссылка

отвечен 6 Окт '13 0:22

Спасибо, сама не догадалась

(6 Окт '13 0:31) Танюша
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%a-b=\frac1c-\frac1b=\frac{b-c}{bc}$%

$%b-c=\frac1a-\frac1c=\frac{c-a}{ac}$%

$%c-a=\frac1b-\frac1a=\frac{a-b}{ab}$%

Умножим $%(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2b^2c^2}.$% Так-как $%a\ne b, b\ne c, a\ne c,$% то $%a^2b^2c^2=1\Rightarrow abc=\pm1. $%

Следует имет ввиду, что среди $%a,b,c$% обьязательно есть отрицательные. Потому что в противном случае, если предположить $%0< a < b < c,$% получаем $%1/c<1/b<1/a,$% отсюда вытекает, что $%a+1/c< c+1/b,$% который противоречит условию.

ссылка

отвечен 6 Окт '13 0:33

изменен 6 Окт '13 1:03

10|600 символов нужно символов осталось
-1

Умножим каждое из трех равенств на $$bc$$, $$ca$$ И $$ab$$ соответственно?

ссылка

отвечен 5 Окт '13 23:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,965

задан
5 Окт '13 23:20

показан
548 раз

обновлен
6 Окт '13 1:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru