|
Попарно разные действительные числа $%a,b,c$% удовлетворяют условию $%a+1/b=b+1/c=c+1/a$%. Найти, каких значений может принимать произведение $%abc$%. задан 5 Окт '13 23:20 
Танюша |
|
Первое равенство можно записать в виде $%a-b=1/c-1/b=\frac{b-c}{bc}$%. Из соображений симметрии, $%b-c=\frac{c-a}{ca}$% и $%c-a=\frac{a-b}{ab}$%. Перемножая три равенства и сокращая на разности (все они ненулевые), получаем $%(abc)^2=1$%, то есть $%abc=\pm1$%. Далее остаётся привести примеры чисел, для которых произведение принимает оба этих значения. Можно взять $%a=1$%, $%b=-1/2$%, $%c=-2$%, и тогда все три числа из условия равны $%-1$%, а произведение $%abc$% равно $%1$%. Если взять те же числа с противоположными знаками, то произведение будет равно $%-1$%. отвечен 6 Окт '13 0:22 
falcao Спасибо, сама не догадалась
(6 Окт '13 0:31)
Танюша
|
|
$%a-b=\frac1c-\frac1b=\frac{b-c}{bc}$% $%b-c=\frac1a-\frac1c=\frac{c-a}{ac}$% $%c-a=\frac1b-\frac1a=\frac{a-b}{ab}$% Умножим $%(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{a^2b^2c^2}.$% Так-как $%a\ne b, b\ne c, a\ne c,$% то $%a^2b^2c^2=1\Rightarrow abc=\pm1. $% Следует имет ввиду, что среди $%a,b,c$% обьязательно есть отрицательные. Потому что в противном случае, если предположить $%0< a < b < c,$% получаем $%1/c<1/b<1/a,$% отсюда вытекает, что $%a+1/c< c+1/b,$% который противоречит условию. отвечен 6 Окт '13 0:33 
ASailyan |
