Известно, что x, y, z - положительные числа, такие что $$x+y+z\leq3$$ Найдите минимальное значение выражения $$\frac{x+1}{x(x+2)}+\frac{y+1}{y(y+2)}+\frac{z+1}{z(z+2)}$$

задан 8 Май 21:52

1

Функция f(x)=(x+1)/(x(x+2)) выпукла вниз на (0,3) и убывает на нём. Остаётся применить неравенство Иенсена.

(8 Май 22:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

ссылка

отвечен 8 Май 23:00

Извиняюсь, но не могли бы вы расписать сигма(1/x) подробнее ну и само решение по подробнее.

(8 Май 23:19) ersekel

@ersekel: под сигма(1/x) понимается 1/x+1/y+1/z.

Здесь было использовано известное неравенство a^2/x+b^2/y+c^2/z>=(a+b+c)^2/(x+y+z), верное для всех положительных чисел. Можно, правда, обойтись и без него, имея в виду, что (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9, что доказывается или напрямую, или через неравенство о среднем арифметическом и среднем гармоническом.

(8 Май 23:23) falcao

@falcao: А с помощью чего доказывается выше сказанное неравенство a^2/x+b^2/y+c^2/z>=(a+b+c)^2/(x+y+z)?

(9 Май 0:05) ersekel

@ersekel: это полезное неравенство, оно часто используется. Надо рассмотреть два вектора (a/x^{1/2},b/y^{1/2},c/z^{1/2} и (x^{1/2},y^{1/2},z^{1/2}), и применить к ним неравенство Коши - Буняковского.

(9 Май 0:28) falcao

@falcao: А используя неравенство о среднем арифметическом и среднем гармоническом каким образом происходит доказательство?

(9 Май 11:54) ersekel

@ersekel: это неравенство равносильно тому, что написано выше: (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9. Из него получается 1/x+1/y+1/z>=9/(x+y+z)>=3. Такое же неравенство применяется для чисел x+2,y+2,z+2.

(9 Май 12:17) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×495
×64

задан
8 Май 21:52

показан
172 раза

обновлен
9 Май 12:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru