|
Уважаемые математики! Пожалуйста, поделитесь идеями. Уравнение $$a ^ x + b ^ x = d ^ x$$ (a < d, b < d, (a + b) > d, 1 < x < бесконечность ) определяет кругоиду (см. вопрос от 05.02.2012 г.), замкнутую кривую, подобную (при x, не равном 2) эллипсу и имеющую две главных оси симметрии: малую и большую. При x, стремящемся к бесконечности, кругоида приобретает простой вид: если из концов диаметра d провести две дуги окружности радиуса R = d до их пересечения друг с другом, получится замкнутая чечевицеобразная кривая, которую назовём гиперкругоида; площадь, ограниченную этой кривой, назовём гиперкругоид (мужской род). Сумма отрезков a и b для любой точки, лежащей на гиперкругоиде, определяется по формуле, справедливость которой легко проверить непосредственно. $$d = (a + b)/(1 + ab/d^2)$$ При a, стремящемся к d, или b, стремящемся к d, результат всегда однозначен. Именно наличием наибольшего размера d определяется ограниченность, замкнутость гиперкругоида и, следовательно, конечность его площади. Вся площадь гиперкругоида заполнена континуумом кругоид различных степеней x (континуумом, потому что всё множество точек 0 < x < 1 однозначно через обратное отношение отображается на множество 1 < x < бесконечность). Итак, площадь S гиперкругоида имеет конечное значение. Она составлена из нескольких площадей: площади, занимаемой «натуральными» кругоидами (кругоидами, имеющими степени натурального ряда чисел), «рациональными» кругоидами, «иррациональными», «алгебраическими», «трансцендентными». Какую долю от общей площади гиперкругоида занимает каждая из площадей: «натуральной», «рациональной» и т. д. ? задан 25 Фев '12 11:17 
nikolaykruzh...
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Только предположение: все перечисленные типы чисел, кроме трансцендентных, образуют счетные множества. Так что, наверное, все соответствующие площади (кроме последней) равны 0. Но это если они вообще существуют. Это - по аналогии с тем, что для счетного множества на прямой мера Лебега равна 0. отвечен 25 Фев '12 20:10 
DocentI |
|
<small>Требуются уточнения. Правильно ли я понял, что a, b -переменные, d,x - параметры и рассматривается кривая f(a,b)=0 при фиксированных d и x ?. Если это так, то необходимо наложить дополнительные условия a>0, b>0, иначе выражения a^x, b^x при нецелых x и отрицательных a, b становятся неопределенными. В каком смысле понимается тогда замкнутость кривой? Кстати, при целых x замкнутая кривая получится только при четных x, при нечетных у графика будет наклонная асимптота a=-b и кривая будет уходить в бесконечность, если искусственно не ограничивать a и b. Кроме того, если x=2n -> бесконечности, то кривая a^2n+b^2n=d^2n, очевидно, будет стремиться к квадрату со стороной 2d, поэтому все указанные кривые будут вписываться в такой квадрат, а не в "гиперкругоид". Так что имеется в виду в условии?</small> Итак, a и b - это переменные. Вместо них лучше ввести нормированные переменные u=a/d, v=b/d, тогда уравнение примет вид уравнения однопараметрического семейства кривых u^x+v^x=1 с параметром x. Что касается поставленных вопросов. Кривые семейства не пересекаются, каждая имеет конечную длину и, соответственно, меру Лебега R2 равную нулю. В силу счетной аддитивности объединение счетного числа таких кривых измеримо и тоже имеет меру 0. Далее, по свойствам меры Лебега разность непересекающихся измеримых множеств (области, занимаемой всем семейством, и объединения счетного числа кривых) - тоже измеримое множество, мера которого равна разности мер исходных множеств. Поэтому указанные в вопросе множества измеримы по Лебегу и имеют меры либо 0 (для счетных мн-в - рациональные x, алгебраические x), либо равную площади области, занимаемой всем семейством (можно посчитать соответствующим интегралом в любом математическом пакете). отвечен 26 Фев '12 0:58 
Андрей Юрьевич Я тоже сначала так подумала, потом прочитала предыдущую статью. Нет, a, b - не координаты точки, а расстояния до нее от концов диаметра - отрезка длиной d. Автору следовало бы прямо сказать об этом в вопросе, не отсылая к предыдущему.
(26 Фев '12 10:34)
DocentI
a и b - это координаты точки, если диаметр d принят за базу плоской биполярной системы координат. Это не привычные для нас простирающиеся в бесконечность оси координат, а конечная система, ограниченная площадью гиперкругоида. За пределами гиперкругоида никаких точек, отвечающих исходному уравнению, не существует. Система замкнута на себя. Внутри неё - евклидова плоскость (кругоида второй степени, окружность) как частный случай ограниченного плоского пространства, описываемого в прямоугольных биполярных координатах
(26 Фев '12 14:22)
nikolaykruzh...
Несложно заметить, что исходному уравнению кругоиды в общем случае, принимая во внимание выражение сторон треугольника через радиус описанной окружности, отвечает тригонометрическое равенство $$(sin A)^ x + (sin B) ^ x = (sin (A+B))^x$$, из которого следует как частный случай известное тригонометрическое соотношение при (A + B)= 90 градусов и x = 2 (для кругоида второй степени)
(26 Фев '12 15:00)
nikolaykruzh...
|
желательно давать ссылку более конкретно, например. так: длина кругоиды, а то долго искать. Как я понимаю, фигуры будут довольно сложными, не непрерывными, как определять их площадь, т.е. какую меру рассматривать?
Кругоида описывается в биполярной системе координат, отсчёт ведётся от концов диаметра d через параметры a и b
Справа на экране имеется заголовок "Связанные вопросы". Чтобы попасть на вопрос от 05.02.2012 г., нужно кликнуть первый вопрос: "Как найти длину кругоиды степени (x)?"
Ну, справа же нет дат! Зато даются советы по оформлению (в момент редактирования вопроса). И все-таки главный вопрос остается: какой мерой пользоваться? Жордановой? (вряд ли!) Лебега? Кстати, про перечисленные Вами площади нельзя сказать "составлена из". Натуральные входят в рациональные, а алгебраические - в иррациональные
Уважаемая Docеnti! Я ошибся: мне казалось, что множество алгебраических чисел несчётно. Но как мигне убедить свыой здравый
Я тоже как-то засомневалась, пришлось погуглить ;-))
Мой комментарий почему-то сорвался. Спасибо Вам, Docenti. Ошибку понял.