|
Здравствуйте! Объясните пожалуйста правила сравнения чисел. Я вот не знаю, как сравнить эти два числа(числа одна шестая в степени одна шестая и аналогично с одной пятой): $$ (1/6)^{1/6} {\rm vs\ } (1/5)^{1/5} $$ Объясните на из примере, пожалуйста. Спасибо! задан 6 Окт '13 18:45 
ВладиславМСК |
|
Нужно сравнить $%n^{n+1}$% и $%(n+1)^n.$% Имеем $%\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}=\frac{1}{n}\cdot\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n<\frac{3}{n}\le1,\quad n\ge3.$% Значит $%(n+1)^n< n^{n+1},\quad n\ge3.$% $%\Big(\frac{1}{6}\Big)^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{\sqrt[30]{6^5}};\quad\Big(\frac{1}{5}\Big)^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt[30]{5^6}}...$% отвечен 6 Окт '13 19:07 
Anatoliy Честно говоря, всёравно не понял.
(6 Окт '13 20:04)
ВладиславМСК
@ВладиславМСК: здесь в решении имелось в виду, что сначала оба числа возводятся в 30-ю степень. От этого знак неравенства не меняется. То есть задача сводится к сравнению чисел $%5^6$% и $%6^5$%. Делим второе число на первое, и далее всё по решению. Поскольку сами числа здесь не слишком большие, то на худой конец можно их сравнить вручную.
(6 Окт '13 20:15)
falcao
|
|
Можно рассмотреть функцию $%f(x)=x^x, x\in(0;\infty).$% $%f^{'}(x)=(x^x)^{'}=(e^{xlnx})^{'}=e^{xlnx}\cdot (xlnx)^{'}=x^x(x^{'}lnx+x(lnx)^{'})=x^x(lnx+1).$% Ясно, что $%f^{'}(x)<0 \Leftrightarrow x\in (0;\frac1{e}) $%. Значит в промежутке $%(0;\frac1 e)$% функция убывает и $%0<\frac16< \frac15< \frac1{e} \Rightarrow f(\frac16)> f(\frac15),$% и так $%(\frac16)^{\frac16}> (\frac15)^{\frac15}.$% отвечен 6 Окт '13 19:11 
ASailyan @ASailyan: подход с функцией $%x^x$% мне кажется хорошим. Только там ведь не десятичный логарифм, а натуральный, поэтому функция убывает на $%(0,1/e)$%. Соответственно, обе точки туда попадают, и в ответе получается наоборот.
(6 Окт '13 19:48)
falcao
@ASailyan, Спасибо. Правда о логарифмах не знаю.
(6 Окт '13 20:03)
ВладиславМСК
|
@ВладиславМСК: при возведении в степень нужно в формулах окружать показатель степени фигурными скобками. Такого рода группировка символов принята в языке TeX. Если Вы напишете круглые скобки, то TeX воспримет это как возведение в степень, у который показатель равен самому первому символу, то есть открывающейся круглой скобке, и выдаст что-то вроде $%a^($%.
@falcao, спасибо.