|
\begin{cases} x^{2011} - y^{2011} =\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}\\x^2+y^2=8\end{cases} задан 6 Окт '13 22:19 
Uchenitsa |
|
Если $%x > y$%, то $%x^{2011} > y^{2011}$%, то есть левая часть первого уравнения положительна. С другой стороны, $%1-x < 1-y$%, откуда $%\sqrt{1-x} < \sqrt{1-y}$% (в предположении, что оба корня определены), и правая часть того же равенства отрицательна. Получается противоречие. Аналогично поступаем при $%x < y$%. Значит, $%x=y$%, и остаётся решить второе уравнение, помня о том, что $%x\le1$%. отвечен 6 Окт '13 22:40 
falcao @falcao, спасибо за Ваше решение. Вспомнила, у меня был вопрос на форуме по подобной системе) А я думаю, где я видела такие же выражения с корнями?))) Второй вариант решения через доказательство монотонности функции f(x)= x^(2011)- sqrt(1-x)
(6 Окт '13 22:55)
Uchenitsa
1
Да, можно и через монотонность, но здесь фактически это же и доказано, причём не через рассмотрение производной, а чисто в силу свойств неравенств. Задача похожа на какую-то из предыдущих, но я очень быстро забываю такие вещи (часто пытаюсь найти ссылки, но не могу их обнаружить). Особенность этого примера в том, что к выводу $%x=y$% прийти легко, но дальше надо проявить внимательность и не забыть о том, что $%x=2$% не подходит. Часто бывает, что в таких случаях, когда одно из уравнений представляет собой полное тождество, его просто отбрасывают.
(6 Окт '13 23:04)
falcao
|