Найти все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

x+y+z=x^2+4y^2
x+2y+3z=a

Имеет единственное решение

задан 6 Окт '13 22:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\begin{cases}x +y+z=x^2+4y^2\\ x + 2y +3z = a\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}z=x^2+4y^2-x-y\\ x + 2y +3(x^2+4y^2-x-y)= a\end{cases}$%

Надо требовать, чтобы второе уравнение имел ровно одно решение. После не сложных преобразований это уравнение примет вид:

$%3(x-\frac13)^2+12(y-\frac1{24})^2=a+\frac{17}{48}$%

  • Если $%a+\frac{17}{48}<0$%, то уравнение не иммет решений, система тоже.
  • Если $%a+\frac{17}{48}>0$%, то это уравнение эллипса,имеет бесконечное число решений, система тоже.
  • Если $%a+\frac{17}{48}=0$%, тогда уравнение имеет одно решение $%x=\frac13,y=\frac1{24},$% система тоже $%x=\frac13,y=\frac1{24},z=-\frac{37}{144}.$% И так $%a=-\frac{17}{48}.$% ( В арифметике не уверена, прошу проверить.)
ссылка

отвечен 6 Окт '13 23:48

изменен 6 Окт '13 23:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Будем решать систему обычным образом, считая значение параметра $%a$% заданным. Для этого выражаем $%z$% из последнего уравнения и подставляем в первое: $$x^2+4y^2=x+y+\frac{a-x-2y}3=\frac{a+2x+y}3.$$ Это уравнение можно переписать в виде $$x^2-\frac{2x}3+4\left(y^2-\frac{y}{12}\right)=\frac{a}3,$$ дополняя квадратичные выражения до полного квадрата. Тогда получится $$\left(x-\frac13\right)^2+4\left(y-\frac1{24}\right)^2=\frac{a}3+\frac19+\frac1{144}=\frac{a}3+\frac{17}{144}.$$ Если число, стоящее в правой части, отрицательно, то решений нет; если оно положительно, то решений бесконечно много (на окружности бесконечно много точек). Значит, оно равно нулю, откуда находится значение параметра $%a$%.

ссылка

отвечен 6 Окт '13 23:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×265

задан
6 Окт '13 22:28

показан
735 раз

обновлен
6 Окт '13 23:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru