алгебра - Как найти значение радикала

Прежде всего, функция $%f(x)=x-\sqrt{\frac3x}$% возрастает на положительной полуоси. Отсюда следует, что уравнение $%f(x)=4$% имеет в точности одно решение.

Удобно ввести переменную $%t=\sqrt{x}$%, что приводит к уравнению $%t^2-\frac{\sqrt{3}}t=4$%, то есть к кубическому уравнению $%t^3-4t-\sqrt{3}=0$%. У этого уравнения легко просматривается корень $%t=-\sqrt{3}$%, и хотя нам он не подходит (у нас $%t=\sqrt{x} > 0$%), нахождение этого корня приводит к разложению на множители: $%t^3-4t-\sqrt{3}=(t+\sqrt{3})(t^2-\sqrt{3}t-1)=0$%. Квадратное уравнение можно решить явно, находя его положительный корень $%t$% и далее возводя в квадрат. Решением будет число $%x=(5+\sqrt{21})/2$%, которое далее можно подставить во все уравнения, но в данном случае всё ещё проще, так как известно, что $%t^2-\sqrt{3}t=1$%, то есть $%x-\sqrt{3x}=1$%.