$$\lim\limits_{x\to+\infty} x((x^2+2x)^{1/2}-2(x^2+x)^{1/2}+x)$$

задан 6 Окт '13 23:39

изменен 7 Окт '13 0:03

falcao's gravatar image


172k1531

10|600 символов нужно символов осталось
0

Выражение под знаком предела можно переписать в виде $$x^2((1+2/x)^{1/2}-2(1+1/x)^{1/2}+1)).$$ Далее надо воспользоваться формулой Тейлора для функции $%(1+t)^{1/2}$% в окрестности нуля, беря разложение с учётом членов второго порядка: $$(1+t)^{1/2}=1+\frac{t}2-\frac{t^2}8+o(t^2).$$ Отсюда $$(1+2/x)^{1/2}=1+\frac1x-\frac1{2x^2}+o(x^{-2}),$$ $$(1+1/x)^{1/2}=1+\frac1{2x}-\frac1{8x^2}+o(x^{-2}).$$ После несложных преобразований под знаком предела получится $%x^2(-x^{-2}/4+o(x^{-2}))=-1/4+o(1)$%, то есть предел равен $%-1/4$%.

Добавление. Поступил "заказ" на решение без использования формулы Тейлора. Можно предложить следующее. Выражение под знаком предела имеет вид $$x^2((1+2/x)^{1/2}-2(1+1/x)^{1/2}+1).$$ Его можно представить как $$x^2((\sqrt{1+2/x}-1)-2(\sqrt{1+1/x}-1).$$ Далее применим тождества вида $%\sqrt{z}-1=\frac{z-1}{\sqrt{z}+1}$%, что даст нам $$2x\left(\frac1{1+\sqrt{1+2/x}}-\frac1{1+\sqrt{1+1/x}}\right).$$ Приведём разность дробей к общему знаменателю $$2x\cdot\frac{\sqrt{1+1/x}-\sqrt{1+2/x}}{(1+\sqrt{1+2/x})(1+\sqrt{1+1/x})}$$ и далее заменим разность квадратных корней вида $%\sqrt{a}-\sqrt{b}$% на $%\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$%. Получится $$-\frac2{{(\sqrt{1+1/x}+\sqrt{1+2/x})(1+\sqrt{1+2/x})(1+\sqrt{1+1/x})}},$$ и теперь, устремляя $%x$% к бесконечности, мы непосредственно видим, что предел равен $%-1/4$% (величины $%1/x$% и $%2/x$% стремятся к нулю, и предел знаменателя равен $%8$%).

ссылка

отвечен 7 Окт '13 0:11

изменен 7 Окт '13 1:58

Извините пожалуйста, а можно без Теоремы Тейлора попробовать решить

(7 Окт '13 1:28) ilia

Можно решить без формулы Тейлора, но такой способ будет технически сложнее, и он менее естественный. Тем не менее, если Вам нужно, я могу сделать добавление.

(7 Окт '13 1:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,578

задан
6 Окт '13 23:39

показан
629 раз

обновлен
7 Окт '13 1:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru