dl/(x^2+4*y+1), где контур задан треугольником на плоскости. А вопрос такой- можно ли здесь применить формулу Грина? Для интеграла 2рода я знаю как применять. А здесь не знаю. Подскажите, пожалуйста

задан 29 Май '21 1:38

изменен 29 Май '21 15:12

@epimkin: какой именно треугольник? Есть ли обращение знаменателя в ноль в его пределах?

(29 Май '21 2:53) falcao

@falcao, x=0, y=0, y=-3x+6, подинтегральное выражение 1/(x^2+4y+1)

(29 Май '21 15:10) epimkin

@falcao, нет, знаменатель в ноль не превращается нигде. Ну и вопрос ещё, как можно перейти от интеграла первого рода ко второму. И можно ли вообще

(29 Май '21 15:14) epimkin

@epimkin, на этот счет есть теорема о связи между криволинейными интегралами 1 и 2 рода. Но по моему опыту, такой переход в типовых задачах обычно не используется.

(29 Май '21 15:23) haosfortum
1

А вообще для решения таких задач есть специальная формула $$\int\limits_L f(x,y)dL = \int\limits_{x_1}^{x_2} f(x,y(x))\sqrt{1+(y'(x))^2}dx,$$ Где x1, x2 - абсциссы концов прямой, а сама прямая задана выражением y(x).

Для вашего случая надо просто применить эту формулу для трех сторон треугольника, а затем все значения сложить. Главное, чтобы вы интегрировали все время в одном направлении (против часовой стрелки, например). И еще нужно не забывать, что при x1 > x2 нужно перед интегралом поставить "минус".

(29 Май '21 15:31) haosfortum

@haosfortum, это я знаю, я так и делал. Хотелось узнать, можно ли как нибудь перейти к Грину. Кстати, тогда вопрос , чему равен интеграл , когда уравнение стороны х=0?

(29 Май '21 15:35) epimkin

Вертикальный катет треугольника

(29 Май '21 15:37) epimkin
1

@epimkin, как я сказал, есть соответствующая теорема, можете попробовать, вдруг получится.

Если прямая задана уравнением x = C, то вам нужно сделать наоборот, то есть $$\int\limits_{y_1}^{y_2} f(x(y), y)\sqrt{1+(x'(y))^2}dy$$ Это можно делать также и для произвольных кривых.

(29 Май '21 15:48) haosfortum

@haosfortum, я так и делал. Тогда ещё вопрос, а можно ли две стороны треугольника делать, скажем так, по dx, а третью по dy и потом сложить?

(29 Май '21 15:53) epimkin

@epimkin, да, конечно, ведь оба этих интеграла (что по dx, что по dy) равны одному и тому же криволинейному интегралу.

(29 Май '21 15:54) haosfortum

@caterpillar, спасибо. А не знаете ли Вы пример такого перехода? Искать не надо, вдруг просто знаете. Или ответить, то есть привести пример преобразования, ну типа такого интеграл xydl , область у=x^2 и y=-x^2+1

(29 Май '21 17:02) epimkin

Если граница состоит из одной или двух кривых, то решаете уравнение или систему, указанные выше и получаете функции P и Q. Примеров не знаю, можно на любом примере сделать самостоятельно.

(29 Май '21 17:04) caterpillar
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
1

@epimkin, связь между криволинейными интегралами работает в обратную сторону, да и то для гладких кривых. Треугольник -- кусочно-гладкая кривая, касательные вектора на разных сторонах различны. Если сможете найти функции P и Q из системы уравнений Px(i)+Qy(i)=1/(x^2+4y+1), где (x(i),y(i)) -- единичный касательный вектор к i-й стороне треугольника, направленный в сторону ориентации, то для P и Q можно записать интеграл второго рода и пользоваться формулой Грина. Но, вероятнее всего, система будет неразрешима, т.к. кол-во уравнений тут больше кол-ва неизвестных.

ссылка

отвечен 29 Май '21 16:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×250
×9

задан
29 Май '21 1:38

показан
270 раз

обновлен
29 Май '21 17:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru