3
1

Вычислить:

$$\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+k+1}}{n(n+2k)^2}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x\ln(x)\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx \iff -\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{x(\ln(1+\exp(x))-x)}{1+\exp(2x)} \, dx.$$

Второй был выведен из суммы, эквивалентен 1-ому при замене $%x↦e^{-x}$%.

задан 31 Май '21 22:48

изменен 2 Дек '21 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
7

Пусть $$ I := \int\limits_0^1 \frac{x \ln x \ln (1+x)}{1 + x^2}dx, \quad J := \int\limits_0^1 \frac{x \ln x \ln (1-x)}{1 + x^2}dx. $$ Рассмотрим $$ A := I + J = \int\limits_0^1 \frac{x \ln x \ln (1 - x^2)}{1 + x^2}dx, \quad B := J - I = \int\limits_0^1 \frac{x \ln x}{1 + x^2}\ln \frac{1 - x}{1 + x}dx. $$ Начнем с $%A$%: $$ A = |t = x^2| = \frac{1}{4}\int\limits_0^1 \frac{\ln t \ln (1 - t)}{1 + t}dt = \frac{1}{4}\int\limits_0^1 \frac{\ln t \ln \frac{1 - t^2}{1 + t}}{1 + t}dt = $$ $$ = \frac{1}{4}\left(\int\limits_0^1 \frac{ \ln t \ln (1 - t^2)}{1 - t^2}dt - \int\limits_0^1 \frac{ t\ln t \ln (1 - t^2)}{1 - t^2}dt - \int\limits_0^1 \frac{\ln t \ln (1 + t)}{1 + t}dt \right) =: \frac{1}{4}(I_1 + I_2 + I_3). $$ $$ I_1 = |u = t^2| = \frac{1}{4}\int\limits_0^1 \frac{\ln u \ln(1-u)}{\sqrt{u}(1 - u)}du = \frac{1}{4}\lim\limits_{(x, y) \to (1/2, 0)} \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} B(x, y) = \frac{1}{4}(7 \zeta(3) - 6\ln 2\zeta(2)). $$ $$ I_2 = |u = t^2| = \frac{1}{4}\int\limits_0^1 \frac{\ln u \ln(1 - u)}{1 - u}du = -\frac{1}{4}\int\limits_0^1 \sum\limits_{n= 1}^\infty u^nH_n \ln u du = \frac{1}{4}\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{H_n}{(n + 1)^2} = $$ $$ = \frac{1}{4}\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{H_n}{n^2} - \frac{1}{4}\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^3} = \frac{1}{4}\zeta(3). $$ $$ I_3 = \int\limits_0^1 \frac{\ln t \ln (1 + t)}{1 + t}dt = -\frac{1}{2}\int\limits_0^1 \frac{\ln^2(1+t)}{t}dt = -\frac{1}{8}\zeta(3). $$ Значит, $$ A = \frac{13}{32}\zeta(3) - \frac{3}{8}\ln 2 \zeta(2). $$ Далее, $$ B = |t = (1-x)/(1+x)| = \int\limits_0^1 \frac{\ln t \ln(1-t)}{1 + t}dt - \int\limits_0^1 \frac{\ln t \ln (1+t)}{1 + t}dt - B, $$ откуда $$ B = \frac{7}{8}\zeta(3) - \frac{3}{4}\zeta(2)\ln 2. $$ Решая систему, получаем $$ I = \frac{1}{16}\left(-\frac{15}{4}\zeta(3) +3 \ln 2 \zeta(2) \right) $$

ссылка

отвечен 1 Июн '21 12:47

2

Фантастика! :)

(1 Июн '21 13:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,053
×1,423
×850

задан
31 Май '21 22:48

показан
419 раз

обновлен
2 Дек '21 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru