Найти наибольшее значение выражения $%x+2y$% , если:

$%|4y-3x| + 5\cdot{\sqrt{x^2+y^2+20y+100}} = 40$%

задан 1 Июн '21 19:24

изменен 1 Июн '21 19:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим геометрическую интерпретацию слагаемых. Второе (без учёта множителя) есть расстояние от точки $%(x,y)$% до точки $%(0,-10)$%. Первое -- это умноженное на $%5$% расстояние от точки $%(x,y)$% по прямой $%y=\frac{3x}4$%, согласно известной формуле.

Таким образом, сумма расстояний от точки $%(x,y)$% до $%P(0,-10)$% и до указанной прямой равна $%8$%. Нетрудно проверить, согласно той же формуле, что расстояние от точки $%P$% до этой прямой равно $%8$%. Это же можно сделать, опуская перпендикуляр из точки на прямую. Угловой коэффициент перпендикуляра даёт $%-1$% в произведении с $%\frac34$%, а сама прямая имеет уравнение $%y=-\frac43x-10$%. Приравнивая два выражения, получаем координаты точки пересечения: $%x=-\frac{24}5$%, $%y=-\frac{18}5$%. Теперь расстояние до $%P$% находится по формуле, и оно в самом деле равно $%8$%.

Из геометрических соображений теперь очевидно, что сумма расстояний от точки до $%P$% и до прямой $%y=\frac{3x}4$% равна $%8$% тогда и только тогда, когда эта точка лежит на отрезке, соединяющем $%P$% с основанием опущенного перпендикуляра. Максимум выражения $%x+2y$% наблюдается на одном из концов отрезка, и остаётся сравнить. Для точки $%P$% получается $%-20$%, а для основания перпендикуляра будет $%-12$%, то есть больше. Это и есть наибольшее значение.

ссылка

отвечен 1 Июн '21 20:28

@falcao спасибо.

(2 Июн '21 10:04) Orangutan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378
×335
×49
×8

задан
1 Июн '21 19:24

показан
169 раз

обновлен
2 Июн '21 10:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru