неравенства - Как доказать неравенство ?

Без потери общности, $$a\gt b \gt c \gt d \gt e \gt f$$ $$a^2 \gt b^2 \gt c^2 \gt d^2 \gt e^2 \gt f^2$$ $$\frac{1}{a-1} \lt \frac{1}{b-1} \lt \frac{1}{c-1} \lt \frac{1}{d-1} \lt \frac{1}{e-1} \lt \frac{1}{f-1}$$, где $%a,b,c,d,e,f>1$%.

Тогда, используя перестановочное неравенство: $$\frac{a^2}{c-1} + \frac{b^2}{d-1} + \frac{c^2}{e-1} + \frac{d^2}{f-1} + \frac{e^2}{a-1} + \frac{f^2}{b-1} \ge \frac{a^2}{a-1} + \frac{b^2}{b-1} + \frac{c^2}{c-1} + \frac{d^2}{d-1}+$$ $$+\frac{e^2}{e-1} + \frac{f^2}{f-1}.$$

Т.е. нам нужно доказать:

$$\sum_{x} \frac{x^2}{x-1} \ge 24.$$ где суммирование идет от $%a$% до $%f$% (с $%6$% элементами) $$\sum_{x} \frac{x^2}{x-1} \ge 24 \iff \sum_{x} \left( \frac{x^2}{x-1}-4 \right) \ge 0 \iff \sum_{x} \left( \frac{x^2-4x+4}{x-1} \right) \ge 0 \iff $$ $$\iff \sum_{x}\frac{(x-2)^2}{x-1} \ge 0.$$

Поскольку $$\frac{(x-2)^2}{x-1} \ge 0$$ верно для всех $%x>1$%, доказательство завершено. Снизу, ещё два возможных решения.

1) Неравенство перестановки - один из самых полезных инструментов при работе с неравенством. Предположим, что $%⟨a_1,…, a_n⟩$% и $%⟨b_1,…,b_n⟩$% - две последовательности положительных действительных чисел. Тогда сумма $$S=a_1b_1+⋯+a_nb_n…(⋆).$$ максимизируетcя путем сортировки двух последовательностей в одном направлении и минимизируется путем сортировки в противоположном направлении. Другими словами, чтобы максимизировать $%S$% в $%(⋆)$%, либо расположи обе последовательности в порядке возрастания или обе последовательности в порядке убывания, затем соедини каждую $%a_i$% с соответствующим $%b_i$%. Чтобы свести к минимуму, расположи один в порядке возрастания, другой в порядке убывания, затем соедини $%a_i$% с соответствующим $%b_i$%. Например, если $%a_1≥a_2≥a_3$% и $%b_1≥b_2≥b_3$%, то каждое из $%3!$% суммы вида $%a_1b_π(1)+a_2b_π(2)+a_3b_π(3)$%, соответствующие перестановке $%π$% на $%\{1,2,3\}$%, имеют максимальное значение $%a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$% и минимальное значение $%a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1$%. Предположим, что $%x,y,z$% - положительные действительные числа. Применение неравенства перестановки к двум последовательностям $%⟨(x+1)^2,(y+1)^2,(z+1)^2⟩$% и $%⟨1/x,1/y,1/z⟩$% положительных действительных чисел, упорядоченных в обратном порядке дает $$\frac{(x+1)^2}{y}+\frac{(y+1)^2}{z}+\frac{(z+1)^2}{x} \ge \frac{(x+1)^2}{x}+\frac{(y+1)^2}{y}+\frac{(z+1)^2}{z}$$ $$=\left(x+ \frac{1}{x} \right)+\left(y+ \frac{1}{y} \right)+\left(z+ \frac{1}{z} \right)+(2+2+2)$$ $$\ge (2+2+2)+6$$ - неравенство Коши. Тем самым получаем $%12$%. Полагая $%x=a−1$%, $%y=c−1$%, $%z=e−1$% и $%x=b−1$%, $%y=d−1$%, $%z=f−1$% по отдельности, получаем желаемое неравенство.

2) Запиши $%A=a-1$% и т.п. Тогда $$\frac{a^2}{c-1}=\frac{(A+1)^2}{C}=\frac{A^2+2A+1}{C}.$$ Согласно Коши, $%A^2+1⩾2A$%, поэтому данное выражение: $$S=\displaystyle\sum\frac{A^2+2A+1}{C} \ge \displaystyle\sum\frac{4A}{C}.$$ По Коши опять же: $$\frac{\sum\frac{A}{C}}{6} \ge \left( \frac{ABCDEF}{CDEFAB} \right)^{\frac{1}{6}}=1.$$ И поэтому $$S\ge 4\displaystyle\sum\frac{A}{C}\ge 24.$$