(4x^2+3xy+y^2)dx+(4y^2+3xy+x^2)dy=0

задан 8 Окт '13 14:37

10|600 символов нужно символов осталось
2

Доброго дня всем)
@olga747, можно сделать так: $%\frac{dy}{dx} = - \frac{4x^2 + 3xy + y^2}{4y^2 + 3xy + x^2}$% -- уравнение вида $%\frac{dy}{dx} = f(x;y)$%, в котором функция $%f(x;y)$% - однородная функция относительно совокупности переменных $%x$% и $%y$%; то есть можно сделать замену: $%\frac{y}{x} = z(x)$% (т.е. $%y(x) = z(x)\cdot x$%), тогда $%\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} \cdot x + z$% , а в правой части получаем дробь, которую можно будет сократить на $%x^2$%; т.е. получим: $%\frac{dz}{dx} \cdot x + z = - \frac{4 + 3z + z^2}{4z^2 + 3z + 1}$%,
переносим $%z$% вправо, "досчитаем", какая получается дробь, - и можно интегрировать уравнение.. Вроде получается неплохой интеграл. (Потом останется сделать обратную замену $%z = \frac{y}{x}$% )
P.S. но может, его можно и как-то полегче сделать ( какие-то очень уж симметричные выражения в исходном уравнении..)

ссылка

отвечен 8 Окт '13 15:31

изменен 8 Окт '13 15:31

Часто такие уравнения решаются как уравнения в полных дифференциалах с нахождением интегрирующего множителя, но искать его я не пробовал и, судя по ответу моему (если не ошибся), то вроде не так

(8 Окт '13 15:39) epimkin

=) "изначально" оно не является уравнением в полных дифференциалах - а искать, "на что бы его домножить" ( чтобы "полный дифференциал" появился) - искать этот интегрирующий множитель - и некогда, и (наверное, главное) лень.. =)
хотя да: смущает то, что всё слишком уж симметрично ( в условии ).. может, и правда можно проще..

(8 Окт '13 15:46) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
0

link text

А здесь так. Но сомневаюсь в вычислениях

link text

После четвертой строчки так

ссылка

отвечен 8 Окт '13 15:32

изменен 8 Окт '13 17:27

Да вроде проверял. И интеграл второй тоже удачный получился

(8 Окт '13 15:42) epimkin

Мне кажется там все верно. Сейчас попробую еще одним методом

(8 Окт '13 16:11) epimkin

sorry) я исчезла до вечера ( я высунулась в сеть на полчаса - и вместо того, чтобы вспомнить о топике, который я забросила неделю назад ( в закладках так и повис), - я вместо этого полезла отвечать на новые вопросы.. )
а здесь у меня получилось ( в правой части) $%(-4)\cdot \frac {z^3 + z^2 + z +1}{4z^2 + 3z + 1}$% ( при разделении переменных эта дробь "перевернется")

(8 Окт '13 16:21) ЛисаА

Да, я ошибся

(8 Окт '13 17:25) epimkin

Исправил, а еще ( для себя) решил с помощью перехода к полярным координатам, неплохо получилось

(8 Окт '13 21:04) epimkin

почему во втором документе,где 4 строка -dx/x=... дробь в интеграле перевернута и не сходиться с 3-ей строчкой?

(24 Окт '13 17:03) olga747
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,319

задан
8 Окт '13 14:37

показан
507 раз

обновлен
24 Окт '13 17:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru