комплексные-числа - Найти все лорановские разложения функции f(z) по степеням z-z0.

Преобразуем функцию $%f(z)$% к сумме простых дробей: $$f(z)=\dfrac{z-7}{z^2+z-6}=\dfrac{z-7}{(z-2)(z+3)}=\dfrac{1}{5}\cdot\left(\dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{z+3}\right)\cdot(z-7)=\\ =\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{z-2-5}{z-2}-\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{z+3-10}{z+3}=\dfrac{1}{5}\left(1-\dfrac{5}{z-2} \right)-\dfrac{1}{5}\left(1-\dfrac{10}{z+3} \right)=\\ =\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{z+3}=\dfrac{2}{z+3}-\dfrac{1}{z-2}.$$ Поскольку ряд Лорана для $%\dfrac{2}{z+3}$% состоит из единственного члена $%\dfrac{2}{z+3},$% то остается разложить в ряд Лорана в окрестности точки $%z_0=-3$% лишь дробь $%\dfrac{1}{z-2}.$% Преобразуем ее, выделив $%{z+3}$% и затем используем геометрическую прогрессию $$\dfrac{1}{z-2}=\dfrac{1}{z+3-5}=\dfrac{1}{5\left(\dfrac{z+3}{5}-1\right)}=-\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{z+3}{5}}=-\dfrac{1}{5}\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(\dfrac{z+3}{5}\right)^n}.$$
Ряд в правой части сходится при $%\left|\dfrac{z+3}{5}\right|<1.$%
Разложение функции $%\dfrac{1}{z-2}$% при $%\left|\dfrac{z+3}{5}\right|>1$% получим похожим образом $$\dfrac{1}{z-2}=\dfrac{1}{z+3-5}=\dfrac{1}{(z+3)\left(1-\dfrac{5}{z+3}\right)}= \dfrac{1}{z+3}\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\left(\dfrac{5}{z+3}\right)^n}.$$