Пусть дана точка $$P(x_p,y_p,z_p),$$ и эллипсоид, у которого известны полуоси и центр, его уравнение: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.$$ Точка P лежит за пределами эллипсоида в некотором отдалении. Множество касательных к эллипсоиду, проведенных из P образует коническую поверхность. Надо найти общий вид точек касания этого конуса и эллипсоида (понятно, что эти точки будут принадлежать эллипсу, то есть задача по сути сводится к отысканию уравнения эллипса касания конуса и эллипсоида).

задан 9 Июн 12:16

изменен 9 Июн 14:29

Один из способов: применить аффинное преобразование, переводя эллипсоид в сферу. Для сферы задача решается просто и даёт окружность. Потом её надо перевести в эллипс обратным преобразованием.

(9 Июн 12:37) falcao

Там не потеряется свойство касания? В плане, что для сферы это будет касание, а вот для эллипсоида может и не быть. Или нет?

(9 Июн 12:39) Fire13nyu

@Fire13nyu: свойство касания при аффинных преобразованиях не меняется.

(9 Июн 19:05) falcao

Хорошо, но это не меняет того, что дальше для меня идёт тупик. Я нашла задачу о касании конусом сферы. Пыталась оформить решение в общем виде, но вышла дичь.

(9 Июн 19:09) Fire13nyu

@Fire13nyu: если дана сфера единичного радиуса и точка вне шара, то множество точек касания образует пересечение сферы с плоскостью. Уравнение такой плоскости можно явно выписать: вектор нормали известен, а константа подбирается из соображений расстояния или как-то ещё. Окончательный ответ можно в таком виде и дать (после обратного аффинного преобразования), указав плоскость.

(9 Июн 19:30) falcao

Просто задача состоит все же в поиске не плоскости, а именно эллипса (или уже окружности после аффинного преобразования), полученного касанием конуса из точки P и полученной сферы. Я пыталась сделать это через 3 уравнения: уравнения сферы с подстановкой точки касания, уравнения перпендикулярности направляющих и уравнения прямой в пространстве в каноническом виде. Для случаев задач, которые делали подобную штуку, все было нормально, однако в общем виде получалось что-то не то.

(10 Июн 0:10) Fire13nyu

@Fire13nyu: в задаче сказано "найти", а что это в точности означает? Мы уже знаем, что это пространственный эллипс. Его можно задать как пересечение эллипсоида и плоскости, что его однозначно определяет. Поскольку не сказано, в какой форме его полагается находить, я бы так и оставил. Вычислений тут и без того немало, а если представлять как параметрическую кривую, то это ещё ворох длинных вычислений.

(10 Июн 2:31) falcao

Цель этого задания - найти координаты точек касания. Они в дальнейшем понадобятся для следующего этапа задачи. Поэтому я и хочу найти уравнение кривой, на которой эти точки касания и лежат.

(10 Июн 2:36) Fire13nyu

@Fire13nyu: в каком виде тогда Вы хотели бы их представить?

(10 Июн 2:43) falcao

Ну вот как раз с помощью кривой, на которых они лежат. Типа множество точек образует эллипс, но его уравнение ещё надо найти.

(10 Июн 2:45) Fire13nyu
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,057
×899
×686
×20
×3

задан
9 Июн 12:16

показан
156 раз

обновлен
10 Июн 2:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru