Вот как-то в размышлениях я задумался над следующим вопросом. Большинство лудоманов, играющих в лотерею, считают, что им когда-нибудь должно повести. Мне захотелось построить небольшой софизм, оправдывающий их действия.

Итак, предположим, что некто купил сколь угодно большое число лотерейных билетов. Вероятность события $%A_n=\{\mbox{выигрыш n-го билета}\}$% постоянна и равна $%p$%, причём $%0< p<1$%.

Рассмотрим событие $%\bigcup\limits_{m=n}^\infty A_m=\{\mbox{выигрыш некоторого билета с номером, не меньшим $n$}\}$%

Теперь рассмотрим событие $%\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}A_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\left(\bigcup\limits_{m=n}^\infty A_m\right)=\{\mbox{выигрыш билета "ближе к последнему по дате покупки"}\}$%

Но $%\sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n)$% расходится, а величины $%A_n$% независимы, поэтому по лемме Бореля-Кантелли $$P\left(\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}A_n\right)=1$$

Какая ошибка допущена в доказательстве, если она есть?

задан 8 Окт '13 21:03

изменен 8 Окт '13 21:04

@MathTrbl: с целью лучшего осмысления сказанного, не могли бы Вы добавить какие-то подразумеваемые суждения, касающиеся предположительной парадоксальности сделанного вывода? Я пока глубоко не вдумывался, но не вижу парадокса. Понятно, что если вероятность выигрыша по одному билету положительна и постоянна, то выигрыш хотя бы одного билета с номером $%\ge n$% -- достоверное событие; счётное пересечение достоверных событий также достоверно.

(8 Окт '13 21:18) falcao

Мне кажется, что ошибка состоит в том, что я использую предельный переход, который ничем не обосновываю.

(8 Окт '13 22:01) MathTrbl

Я только сейчас обнаружил, что Вы здесь ответили. Счётное пересечение достоверных событий достоверно -- это следует из счётной аддитивности вероятности. В чём тут парадокс, я так и не понимаю.

(31 Окт '13 2:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,843
×2

задан
8 Окт '13 21:03

показан
626 раз

обновлен
31 Окт '13 2:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru