теория-вероятностей - Лемма Бореля-Кантелли и психология лудомании

Вот как-то в размышлениях я задумался над следующим вопросом. Большинство лудоманов, играющих в лотерею, считают, что им когда-нибудь должно повести. Мне захотелось построить небольшой софизм, оправдывающий их действия.

Итак, предположим, что некто купил сколь угодно большое число лотерейных билетов. Вероятность события $%A_n=\{\mbox{выигрыш n-го билета}\}$% постоянна и равна $%p$%, причём $%0< p<1$%.

Рассмотрим событие $%\bigcup\limits_{m=n}^\infty A_m=\{\mbox{выигрыш некоторого билета с номером, не меньшим $n$}\}$%

Теперь рассмотрим событие $%\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}A_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty\left(\bigcup\limits_{m=n}^\infty A_m\right)=\{\mbox{выигрыш билета "ближе к последнему по дате покупки"}\}$%

Но $%\sum\limits_{n=1}^\infty P(A_n)$% расходится, а величины $%A_n$% независимы, поэтому по лемме Бореля-Кантелли $$P\left(\overline{\lim\limits_{n \to \infty}}A_n\right)=1$$

Какая ошибка допущена в доказательстве, если она есть?