На доске были написаны 4 числа. Их сложили всевозможными способами по два и получили 6 различных сумм, которые записали в возрастающем порядке: 5, 7, 8, 11, …, … (два последних числа стёрлись).

  • а) Какие числа стояли на месте многоточий?
  • б) Какие числа были изначально написаны на доске? Укажите все возможные варианты.

задан 8 Окт '13 21:32

изменен 9 Окт '13 0:06

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

В одном из случаев уравнения могут иметь вид: $$a+b=5$$ $$a+c=7$$ $$a+d=11$$ $$b+c=8$$

Есть подозрение, что в таком варианте должно соблюдаться условие $$ a < b < c < d $$.

ссылка

отвечен 9 Окт '13 8:31

а так всего вариантов 4!=24 - так что можно и поперебирать

(9 Окт '13 8:32) vinger4
10|600 символов нужно символов осталось
0

Будем исходить из того, что $%a\le b\le c\le d$% -- четыре числа, написанные на доске (я рассматриваю такой наиболее общий случай, так как в других вариантах этой задачи могут быть совпадения чисел). Тогда минимальная сумма двух чисел равна $%a+b$%, за ней следует $%a+c$%. В самом конце, по аналогичной причине, находится $%c+d$%, а на предпоследнем месте $%b+d$%. Два числа, стоящие в середине, могут располагаться в одном из двух порядков: $%a+d\le b+c$% или $%b+c\le a+d$%, то есть возникает два случая.

Для решения пункта а) случаи можно не разбирать, так как сумма первого и последнего числа, второго и предпоследнего, а также двух чисел посередине равна $%S=a+b+c+d$% во всех случаях. У нас получается $%S=8+11=19$%, откуда последнее число равно $%19-5=14$%, предпоследнее равно $%19-7=12$%. Таким образом, на месте многоточий обязаны стоять числа $%12$% и $%14$%.

Теперь восстановим сами числа. В обоих случаях имеем уравнения $%a+b=5$%, $%a+c=7$%. Из них $%b=5-a$%, $%c=7-a$%. Разберём первый случай, то есть $%a+d\le b+c$%. Он приводит к уравнениям $%a+d=8$%, $%b+c=11$%. Это значит, что $%d=8-a$%, $%12-2a=11$%. Получаем $%a=1/2$%, $%b=5-a=9/2$%, $%c=7-a=13/2$%, $%d=8-a=15/2$%. Проверяем, что числа $%1/2$%, $%9/2$%, $%13/2$%, $%15/2$% действительно подходят.

Второй случай $%b+c\le a+d$% приводит к уравнениям $%b+c=8$%, $%a+d=11$%. Здесь $%12-2a=8$% после подстановки $%b$% и $%c$%, то есть $%a=2$%, $%b=5-a=3$%, $%c=7-a=5$%, $%d=11-a=9$%. Снова проверяем, что числа $%2$%, $%3$%, $%5$%, $%9$% подходят в качестве написанных на доске изначально. Итого имеем в пункте б) два варианта.

ссылка

отвечен 9 Окт '13 9:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,036

задан
8 Окт '13 21:32

показан
1003 раза

обновлен
9 Окт '13 9:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru