4
1

$%\displaystyle \prod _{n=2}^\infty e\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}=\frac{\pi}{e\sqrt{e}}$%

задан 14 Июн '21 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
4

$$ P=\prod_{n=2}^{\infty} e\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}}.$$

Беря логарифмы с обеих сторон, рано или поздно получаем

$$ -\ln P=\frac{3}{2}+\int_{0}^{1}\left(\frac{2 x}{x^{2}-1}-\pi x^{2} \cot (\pi x)\right)\,dx.$$

На мгновение остановимся на втором члене интеграла. Используя интегрирование по частям (с $%u=x^{2}$% и $%\left.dv=\pi \cot (\pi x)\,dx\right)$%, находим, что

$$ \int \pi x^{2} \cot (\pi x)\,dx=x^{2} \ln (\sin (\pi x))-\int 2 x \ln (\sin (\pi x))\,dx.$$

Следовательно, находим, что (учитывая несобственность интеграла при $%x =1$%)

$$ -\ln P=\frac{3}{2}+\lim_{t \rightarrow 1^{-}}\left(\ln \left(1-t^{2}\right)-t^{2} \ln (\sin (\pi t))\right)+\int_{0}^{1} 2 x \ln (\sin (\pi x))\,dx.$$

Выясняется, что оставшийся интеграл действительно сходится, и нам не нужно оценивать это, находя его первообразную. Мы используем симметрию. Пусть $%I$% обозначает его значение, положив $%x=1-\theta$%, получаем

$$ I=\int_{1}^{0} 2(1-\theta) \ln (\sin (\pi-\pi \theta)) \cdot-\,d\theta=-I+\int_{0}^{1} 2 \ln (\sin (\pi \theta)) \,d\theta.$$

Решение для $%I$% дает

$$ I=\int_{0}^{1} \ln (\sin (\pi \theta))\,d\theta.$$ Это классический замаскированный интеграл; полагая $%w=\pi \theta$%, получаем

$$ I=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \ln (\sin w) d w=\frac{1}{\pi} \cdot-\pi \ln 2=-\ln 2 . $$

Таким образом, мы обнаружили, что

$$ -\ln P=\frac{3}{2}-\ln 2+\lim_{t \rightarrow 1^{-}}\left(\ln \left(1-t^{2}\right)-t^{2} \ln (\sin (\pi t))\right).$$

Осталось оценить предел; Взяв экспоненты с обеих сторон, получаем

$$ \ln L=\lim_{t \rightarrow 1^{-}} \frac{1-t^{2}}{(\sin (\pi t))^{t^{2}}} $$

, поскольку тут неопределенность вида $%\frac{0}{0}$%, применение правила Лопиталя дает

$$ \ln L=\lim _{t \rightarrow 1^{-}} \frac{-2 t}{(\sin (\pi t))^{t^{2}}\left(2 t \ln (\sin (\pi t))+\pi t^{2} \cot (\pi t)\right)}.$$

Однако, учитывая, что $%\lim\limits_{t \rightarrow 1^{-}} \sin (\pi t))^{t^{2}-1}=1$% (с использованием логарифмов и правила Лопиталя), мы можем переписать этот предел как

$$ \ln L=\lim_{t \rightarrow 1^{-}} \frac{-2}{\sin (\pi t)(2 \ln (\sin (\pi t))+\pi t \cot (\pi t))}=\lim_{t \rightarrow 1^{-}} \frac{-2}{2 \sin (\pi t) \ln (\sin (\pi t))+\pi t \cos (\pi t)}.$$

Поскольку $%\lim\limits_{t \rightarrow 1^{-}} \sin (\pi t) \ln (\sin (\pi t))=0$% согласно (еще одному) вычислению правила Лопиталя, мы заключаем, что $%e^{L}=\frac{2}{\pi}$% и, следовательно, $%L=\ln \left(\frac{2}{\pi}\right)$%.

Наконец, мы заключаем, что

$$ -\ln P=\frac{3}{2}-\ln 2+\ln \left(\frac{2}{\pi}\right)=\frac{3}{2}-\ln (\pi) $$

Ответ: $%P=\frac{\pi}{e^{3 / 2}}$%.

ссылка

отвечен 15 Июн '21 7:17

изменен 27 Сен '21 16:21

10|600 символов нужно символов осталось
8

Можно вычислить частичное произведение, а потом перейти к пределу и применить формулу Стирлинга для факториала (формулы в ответе не отображаются корректно, поэтому скриншот из режима предпросмотра):

alt text

ссылка

отвечен 15 Июн '21 5:05

изменен 15 Июн '21 5:16

Очень удачно использована "телескопичность" произведений!

(15 Июн '21 14:31) falcao

@falcao, ага, достаточно неожиданно произошло))

(15 Июн '21 14:35) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,445
×870
×723

задан
14 Июн '21 21:13

показан
474 раза

обновлен
27 Сен '21 16:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru