4
1

$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\left( {1 + {x^n}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}} ,{\text{ }}n \in \mathbb{N}$$

задан 15 Июн '21 21:03

изменен 15 Июн '21 21:05

2

Попробуйте замену $%x=\frac{1}{t}$%.

(15 Июн '21 21:42) salam
2

Хорошая идея: после замены становится понятно, что интеграл не зависит от n и всегда равен п/4.

(15 Июн '21 21:50) falcao
1

да, увидел, спасибо

(15 Июн '21 21:51) Igore
10|600 символов нужно символов осталось
6

Пусть $%x=\tan{t} \implies dx=\sec^2{t}\cdot dt$%.

$$\tag*{(1)}\int_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sec^2{t}\cdot dt}{(1+\tan^n{t})\cdot(1+\tan^2{t})}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{1+\tan^n{t}}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{dt}{1+\frac{\sin^n{t}}{\cos^n{t}}}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n{t} \cdot dt}{\sin^n{t}+\cos^n{t}}.$$

Применяем тождество: $%\int_0^{a}f(x) \, dx=\int_0^{a}f(a-x) \, dx$%:

$$\tag*{(2)}\mathcal{I}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n\left( \frac{\pi}{2}-t \right)\cdot dt}{\sin^n\left( \frac{\pi}{2}-t \right)+\cos^n\left( \frac{\pi}{2}-t \right)}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n{t} \cdot dt}{\cos^n{t}+\sin^n{t}}.$$

Теперь: $$(1)+(2) \implies 2 \cdot \mathcal{I}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\sin^n{t}+\cos^n{t}) \cdot dt}{\cos^n{t}+\sin^n{t}}=\left. t \right|_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

Ииии... $$\mathcal{I}=\frac{\pi}{4}.$$

Обратите внимание, что указанное выше интегральное значение не зависит от $%n$%.

ссылка

отвечен 15 Июн '21 21:52

изменен 27 Сен '21 16:05

10|600 символов нужно символов осталось
6

$$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^n)(1+x^2)}=\int_{0}^{\infty}\frac{t^ndt}{(1+t^n)(1+t^2)}\Rightarrow 2I=\frac{\pi}{2}.$$

ссылка

отвечен 15 Июн '21 21:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,423
×161

задан
15 Июн '21 21:03

показан
216 раз

обновлен
27 Сен '21 16:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru