Вот есть такая задача: доказать, что $%\lim_{x\to \infty}(1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}) = e$%, если $%\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$%. И в доказательстве есть следующее действие: т. к. $%(1+\frac{1}{n})^n = 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{n-1}{n}) > 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})$%. При $%n->\infty$% получаем, что $%e\geq 2+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{k!}$% и при k = n: $%e > 2+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$%. Но до того, как я увидел это доказательство, я попытался сделать следующее: $%(1+\frac{1}{n})^n = 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{n-1}{n})\leq 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})^{n-1}$%, т. к. $%(1-\frac{1}{n})$% будет самым большим числом из произведения $%(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{n-1}{n})$%. И поскольку $%(1-\frac{1}{n}) < 1$%, то возведение в степень больше 1 только уменьшит его. Тогда $%(1+\frac{1}{n})^n = 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{n-1}{n})\leq 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})^{n-1}\leq 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})$%. И при $%n->\infty$% выходит, что $%e\leq 2+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$%. В чем ошибка? Просто я так и не смог найти эту дыру в своих рассуждениях. Заранее спасибо!

задан 17 Июн '21 13:58

1

А у Вас после предельного перехода по n почему-то n осталось -- вот и дыра.

(17 Июн '21 14:04) caterpillar

@caterpillar а почему сначала $%e\geq 2+...$%, а при k=n $%e>2+...$%? Почему при k=n равенства быть не может? И откуда вообще взялось это равенство, если до этого все неравенства были строгими?

(17 Июн '21 16:00) тотещефрукт

В смысле, был нестрогий знак, а стал строгий? Не знаю, но это и не важно, т.к. там потом всё равно предельный переход делается и знак в любом случае станет нестрогим. Так что пишИте везде нестрогие знаки и не заморачивайтесь.

(17 Июн '21 16:06) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,219
×4,177
×835
×394
×146

задан
17 Июн '21 13:58

показан
242 раза

обновлен
17 Июн '21 16:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru