математика - Задача про второй замечательный предел

Вот есть такая задача: доказать, что $%\lim_{x\to \infty}(1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}) = e$%, если $%\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$%. И в доказательстве есть следующее действие: т. к. $%(1+\frac{1}{n})^n = 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{n-1}{n}) > 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{k-1}{n})$%. При $%n->\infty$% получаем, что $%e\geq 2+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{k!}$% и при k = n: $%e > 2+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$%. Но до того, как я увидел это доказательство, я попытался сделать следующее: $%(1+\frac{1}{n})^n = 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{n-1}{n})\leq 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})^{n-1}$%, т. к. $%(1-\frac{1}{n})$% будет самым большим числом из произведения $%(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{n-1}{n})$%. И поскольку $%(1-\frac{1}{n}) < 1$%, то возведение в степень больше 1 только уменьшит его. Тогда $%(1+\frac{1}{n})^n = 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{n-1}{n})\leq 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})^{n-1}\leq 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})$%. И при $%n->\infty$% выходит, что $%e\leq 2+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$%. В чем ошибка? Просто я так и не смог найти эту дыру в своих рассуждениях. Заранее спасибо!