$%\mathrm{Re}(w^{5}z^{3}) = 2$%, где $%\lvert z \rvert = \dfrac{1}{2}$% и $%w = -1 + \sqrt{3}i$%.

задан 20 Июн '21 14:14

2

|w^5z^3|=|w|^5/8=4, откуда w^5z^3=2+-i*sqrt(3). Отсюда находим z^3 и далее значения z.

(20 Июн '21 14:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Используя экспоненциальную запись, $%z=\frac{1}{2}e^{i\theta}$% для некоторого $%\theta \in [0,2\pi)$% и $%w=2e^{2\pi i/3}.$% Подставляя это в наше уравнение, получаем

$$\operatorname{Re}(w^5z^3)=\operatorname{Re}\left( \left(2e^{2\pi i/3}\right)^5\left(\frac{1}{2}e^{i\theta}\right)^3 \right)=2.$$

Учитывая, что $%e^{2\pi i}=1$%, это упрощается до

$$\operatorname{Re}=\left( 4e^{i\left(3\theta+\frac{4\pi}{3}\right)} \right)=2.$$

Поскольку $%e^{it}=\cos{t}+\sin{t},$% уравнение сводится к

$$4\cos\left( 3\theta+\frac{4\pi}{3} \right)=2$$

тогда

$$\cos\left( 3\theta+\frac{4\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}.$$

Отмена косинуса дает $%3\theta+\frac{4\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi m$% или $%3\theta+\frac{4\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi n$% для некоторых целочисленных $%m,n.$%

Отсюда получаем $%\theta=\frac{(6m-5)\pi}{9}$% или $%\theta=\frac{(2n-1)\pi}{3}$% для некоторых целочисленных $%m,n.$%

Для всех различных решений мы хотим $%\theta \in [0,2\pi).$% Это дает нам

$$\theta=\frac{\pi}{9},\frac{7\pi}{9},\frac{13\pi}{9},\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3}.$$

Наконец, поскольку $%z=\frac{1}{2}e^{i\theta}$%, заключаем, что

$$z=\frac{1}{2}e^{\pi i/9},\frac{1}{2}e^{7\pi i/9},\frac{1}{2}e^{13\pi i/9}, \frac{1±i\sqrt{3}}{4},-\frac{1}{2}.$$

ссылка

отвечен 20 Июн '21 14:35

изменен 20 Июн '21 14:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,333
×984
×530
×459

задан
20 Июн '21 14:14

показан
313 раз

обновлен
20 Июн '21 14:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru