|
Множество натуральных чисел назовём «правильным», если для любых двух чисел из этого множества некоторое их общее кратное также принадлежит этому множеству. Множество всех натуральных чисел разбито на две части. Доказать, что хотя бы одна из частей является «правильной». Попытаюсь доказать от противного: Предположим, что это не так, то есть, обе части не являются правильными. Это означает, в частности, что в первой части найдутся два числа $%(a, b)$% такие, что все числа $%ab, 2ab, 3ab,\dots$% оказались во второй части. Теперь возьмём любые два числа $%(c, d)$% из второй части. Число $%abcd$% будет тоже во второй части, а это означает, что вторая часть правильная. Вроде бы, ЧТД? Проверьте, пожалуйста, моё решение на наличие ошибок. Конструктивная критика приветствуется. задан 27 Июн '21 10:20 
Казвертеночка
показано 5 из 11
показать еще 6
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
27 Июн '21 10:20
показан
493 раза
обновлен
27 Май '22 18:13
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Общее кратное двух чисел a и b может быть и меньше, чем ab.
P.S. Впрочем, я вдруг понял, что это неважно
@haosfortum, безусловно, может. Но в условии написано: "некоторое их общее кратное".
Так-то всё верно, хотя создаётся впечатление, что требования в задаче можно усилить. Вообще, это несколько напоминает задачи рамсеевского типа.
@falcao, существует альтернативная формулировка этой задачи, предлагавшаяся на турнире имени Савина: Каждое натуральное число покрашено в один из двух цветов: красный или синий. Докажите, что или красные, или синие числа обладают следующим свойством: для каждых двух чисел этого цвета некоторое их общее кратное имеет тот же цвет.
@falcao, Вы пишете: "...создаётся впечатление, что требования в задаче можно усилить". Вы нечто конкретное имели в виду?
Подумал, что в задаче требуется доказать, что правильное множество нельзя разбить на два неправильных. Возможно это и есть усиление, о котором упоминал @falcao
@Казвертеночка: у меня возникли только ассоциации. Я ничего конкретного в виду не имел.
@falcao, один из вариантов усиления: вместо "для любых двух" написать "для любых нескольких".
@Казвертеночка, @falcao, Это означает, в частности, что в первой части найдутся два числа... Кто сказал? Может случиться так, что в первой части не более одного элемента. Правда, на доказательство это не влияет. Потому что если в первой части не более одного элемента, то вторая, очевидно, будет правильной.
@Казвертеночка: я считаю, что сам "механизм" этой задачи получился неинтересный. В таких случаях при проверке легко пропустить какие-то мелкие формальности.
@Казвертеночка, если в первой части не более одного элемента, то она уже правильная.