0
1

Множество натуральных чисел назовём «правильным», если для любых двух чисел из этого множества некоторое их общее кратное также принадлежит этому множеству. Множество всех натуральных чисел разбито на две части. Доказать, что хотя бы одна из частей является «правильной».

Попытаюсь доказать от противного:

Предположим, что это не так, то есть, обе части не являются правильными. Это означает, в частности, что в первой части найдутся два числа $%(a, b)$% такие, что все числа $%ab, 2ab, 3ab,\dots$% оказались во второй части. Теперь возьмём любые два числа $%(c, d)$% из второй части. Число $%abcd$% будет тоже во второй части, а это означает, что вторая часть правильная.

Вроде бы, ЧТД?

Проверьте, пожалуйста, моё решение на наличие ошибок. Конструктивная критика приветствуется.

задан 27 Июн '21 10:20

1

Общее кратное двух чисел a и b может быть и меньше, чем ab.

P.S. Впрочем, я вдруг понял, что это неважно

(27 Июн '21 10:37) haosfortum

@haosfortum, безусловно, может. Но в условии написано: "некоторое их общее кратное".

(27 Июн '21 10:40) Казвертеночка
1

Так-то всё верно, хотя создаётся впечатление, что требования в задаче можно усилить. Вообще, это несколько напоминает задачи рамсеевского типа.

(27 Июн '21 12:17) falcao

@falcao, существует альтернативная формулировка этой задачи, предлагавшаяся на турнире имени Савина: Каждое натуральное число покрашено в один из двух цветов: красный или синий. Докажите, что или красные, или синие числа обладают следующим свойством: для каждых двух чисел этого цвета некоторое их общее кратное имеет тот же цвет.

(27 Июн '21 12:20) Казвертеночка

@falcao, Вы пишете: "...создаётся впечатление, что требования в задаче можно усилить". Вы нечто конкретное имели в виду?

(27 Июн '21 17:11) Казвертеночка
1

Подумал, что в задаче требуется доказать, что правильное множество нельзя разбить на два неправильных. Возможно это и есть усиление, о котором упоминал @falcao

(27 Июн '21 17:35) spades
1

@Казвертеночка: у меня возникли только ассоциации. Я ничего конкретного в виду не имел.

(27 Июн '21 19:46) falcao

@falcao, один из вариантов усиления: вместо "для любых двух" написать "для любых нескольких".

(12 Янв 22:13) Казвертеночка
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×697
×294
×39
×11
×7

задан
27 Июн '21 10:20

показан
208 раз

обновлен
12 Янв 22:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru