планиметрия - Площадь круга

Треугольник $%ABC$% подобен треугольнику $%A_1BC_1$% -- это следует из общего свойства высот. Доказать его можно так: построим окружность на отрезке $%AC$% как на диаметре. Точка $%X$%, отличная от $%A$% и $%C$%, будет лежать на этой окружности тогда и только тогда, когда $%AXC$% -- прямой угол. Поскольку $%AA_1$% и $%CC_1$% -- высоты, на окружности будут лежать точки $%A_1$% и $%C_1$%, то есть $%ACA_1C_1$% -- вписанный четырёхугольник. По известному свойству, его противоположные углы в сумме дадут 180 градусов. А это значит, что угол $%BAC$% равен углу $%BA_1C_1$%: оба они вместе с углом $%CA_1C_1$% составляют 180 градусов. Тогда треугольник подобны по двум углам.

Найдём теперь коэффициент подобия как отношение длин соответственных сторон, в качестве которых возьмём $%AB$% и $%A_1B$%. Синус угла $%A_1AB$% по условию равен $%3/5$%, откуда $%AB:A_1B=5:3$% (гипотенуза к противолежащему катету). Теперь можно найти сторону $%AC$%: она относится к $%A_1C_1=24/5$% с тем же коэффициентом, то есть больше в $%5/3$% раза. Значит, $%AC=8$%.

Далее применим теорему синусов: $%AC=2R\sin\hat{B}$%. Синус этого угла равен $%4/5$%, так как это косинус того же угла, у которого синус был равен $%3/5$%. Это позволяет найти $%R$%, а площадь описанного круга находится по формуле $%\pi R^2$%.