Что больше кубический корень из 51 или 2+кубический корень из 5. Как доказать, а то что-то мозг отключился

задан 10 Окт '13 22:15

10|600 символов нужно символов осталось
2

Возможно, здесь есть какое-то более короткое решение, но числа довольно близки друг к другу, поэтому какие-то вычисления могут потребоваться.

Итак, надо сравнить $%\sqrt[3]{51}$% и $%2+\sqrt[3]{5}$%. Возведём в куб каждое из чисел, пользуясь тем, что функция $%y=x^3$% монотонно возрастает. Знак неравенства останется тем же, а сравнить теперь надо $%51$% и $%8+5+3(4\sqrt[3]{5}+2\sqrt[3]{5}^2)$%. Это равносильно задаче сравнения между собой чисел $%19/3$% и $%2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{5}^2$%.

Рассмотрим квадратное уравнение $%x^2+2x-19/3=0$%. Его положительный корень равен $%x=\sqrt{22/3}-1$%. Если мы сумеем сравнить это число с $%\sqrt[3]{5}$%, то задача будет решена. Дело в том, что на положительной полуоси квадратный трёхчлен возрастает, и отсюда будет следовать нужный нам вывод.

Фактически нам нужно сравнить $%x^3$% и $%5$%. Эта задача выглядит проще изначальной, потому что осталась всего одна квадратичная иррациональность. Однако возводить число $%x$% в куб напрямую не очень желательно. Здесь нам может прийти на помощь алгебра: возведение в куб мы осуществим в буквенном виде.

Мы знаем, что $%x^2=19/3-2x$%. Домножим на $%x$%, и далее избавимся от $%x^2$% по тому же принципу: $%x^3=19x/3-2x^2=19x/3-2(19/3-2x)=19x/3-38/3+4x=(31x-38)/3$%. Мы сравниваем это число с $%5$%, то есть $%31x-38$% с $%15$%, или $%31x$% с $%53$%. Вспоминаем, что $%x=\sqrt{22/3}-1$%, то есть сравнить надо $%31\sqrt{22/3}$% и $%53+31=84$%. Это делается возведением в квадрат, и после домножения на $%3$% и сокращения на $%2$% требуется сравнить $%31^2\cdot11=961\cdot11=10571$% и $%3\cdot42\cdot84=10584$%. Второе число оказывается чуть больше (фактически, только здесь нам потребовались небольшие вычисления на уровне перемножения чисел "столбиком").

Итак, мы установили, что $%x < \sqrt[3]{5}$%. Это значит, что если мы подставим последнее из чисел в квадратный трёхчлен $%x^2+2x-19/3$%, то результат будет больше нуля. Значит, $%19/3 < 2\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{5}^2$%, откуда $%\sqrt[3]{51} < 2+\sqrt[3]{5}$%.

Возможно, кто-то из участников форума сможет предложить менее трудоёмкое решение.

Добавление. Вот ещё один способ решения -- он более искусственный, но зато почти не требует вычислений.

Положим $%y=\sqrt[3]{51}-\sqrt[3]{5}$%. Мы хотим доказать, что $%y < 2$%.

Из формулы $$a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^3-b^3}{(a-b)^2+3ab}, $$ применённой для чисел $%a=\sqrt[3]{51}$% и $%b=\sqrt[3]{5}$%, следует, что $$y=\frac{46}{y^2+3\sqrt[3]{255}}.$$ Для начала проверим, что $%\sqrt[3]{255} > 19/3$%. Это видно из следующего простого вычисления: $%(19/3)^3=(6+1/3)^3=6^3+3\cdot6^2/3+3\cdot6/3^2+1/3^3=216+36+2+1/27 < 255$%. Таким образом, из предыдущих формул следует, что $$y < \frac{46}{y^2+19},$$ то есть $%y^3+19y < 46$%. Это значит, что $%y < 2$%, так как функция $%f(x)=x^3+19x$% возрастает, а $%f(2)=46$%.

ссылка

отвечен 11 Окт '13 0:03

изменен 11 Окт '13 2:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Допустим, что справедливо неравенство: $%51^{1/3}$% < (2 + $%5^{1/3})$%;возведём в куб 51 < (8 + $%3 \times2^{2}\times5^{1/3}$% + $%3\times2\times25^{1/3}$% + 5); так как обе части неравенства больше единицы, то неравенство не нарушится 38 < ($%3\times2\times5^{1/3}\times(2 + 5^{1/3})$%); заменим последнее слагаемое заведомо меньшим числом - одночленом исходного неравенства и возведём обе части в куб. Если неравенство не нарушится, можно предположить, что задача решена правильно $%(6 +1/3)^{3} <(5^{1/3}\times 51^{1/3})^{3}$% = 255 ; (216 + $%3\times36\times(1/3)$% + $%3\times6\times(1/9)$% + 1/27) < 255; (254 + 1/27) < 255. Предварительный вывод: Число справа от знака исходного неравенства больше того, что стоит слева. Допустим теперь, что справедливо неравенство: $%51^{1/3}$% > (2 + $%5^{1/3})$%;возведём в куб 51 > (8 + $%3 \times2^{2}\times5^{1/3}$% + $%3\times2\times25^{1/3}$% + 5); так как обе части неравенства больше единицы, то неравенство не нарушится. 38 > ($%3\times2\times5^{1/3}\times(2 + 5^{1/3})$%); заменим последнее слагаемое заведомо большим числом - одночленом исходного неравенства, возведём обе части в куб и посмотрим, не приведёт ли полученный результат к противоречию.$%(6 +1/3)^{3} > (5^{1/3}\times 51^{1/3})^{3}$% = 255 ; (216 + $%3\times36\times(1/3)$% + $%3\times6\times(1/9)$% + 1/27) > 255;(254 + 1/27) > 255.Неравенство абсурдно. Окончательный вывод:Число справа от знака исходного неравенства в первом варианте больше того, что стоит слева.

ссылка

отвечен 11 Окт '13 10:14

изменен 15 Окт '13 11:07

1

Это рассуждение логически некорректно, хотя оно верно отражает какие-то важные моменты. Здесь всё начинается с рассмотрения равенства, которого на самом деле нет, то есть это ложное высказывание. И поэтому из него по правилам логики вытекает что угодно. Если же равенства заменить гипотетическими неравенствами, чтобы их проанализировать, то часть неравенств при этом выполняется не в ту сторону, в которую нужно.

(11 Окт '13 12:55) falcao

@nikolaykruzh...: в изменённом варианте рассуждение по-прежнему некорректно с логической точки зрения. Структура теперь такая: рассмотрим одну из гипотез (что знак у неравенства такой-то), сделаем некие преобразования, получим как следствие верные неравенства. Но из этого никак не следует, что рассматриваемое неравенство верно. Дело в том, что из ошибочного предположения также можно извлечь какие-то верные следствия. Вот если бы неравенство со знаком $%\ge$% удалось бы привести к противоречию, то тогда из этого следовало бы то, что нужно.

(14 Окт '13 14:20) falcao
1

@nikolaykruzh...: тот анализ, который Вы проделали в видоизменённом варианте доказательства, снова не проходит. Первый случай можно не рассматривать, так как из него не следует никаких выводов. Надо опровергнуть неравенство $%51^{1/3} > 2+5^{1/3}$%. Оно возводится в куб, при этом получается равносильное неравенство вида $%38 > k(2+5^{1/3})$%. При замене числа $%2+5^{1/3}$% на большее мы не можем сделать никаких выводов: мы знаем, что $%a > b$% и что $%c > b$%, но это не даёт никакой информации относительно взаимного расположения $%a$% и $%c$%. То есть тут всё устроено более сложно.

(15 Окт '13 18:57) falcao

@falcao. Пока беру академический отпуск на обдумывание

(15 Окт '13 21:21) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,529

задан
10 Окт '13 22:15

показан
1653 раза

обновлен
15 Окт '13 21:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru