Пусть $%x, y, z>0$% и $%x y+y z+z x=3$%. Найдите минимум:

$$\frac{7 x^{2}+6 x y+5 y^{2}}{\sqrt{3 x^{2}+10 x y+5 y^{2}}}+\frac{7 y^{2}+6 y z+5 z^{2}}{\sqrt{3 y^{2}+10 y z+5 z^{2}}}+\frac{7 z^{2}+6 z x+5 x^{2}}{\sqrt{3 z^{2}+10 z x+5 x^{2}}}.$$

задан 5 Июл 13:23

изменен 13 часов назад

А откуда такая задача может взяться?

(5 Июл 13:47) knop

@knop даже не знаю как на это ответить... Приснилась.

(5 Июл 13:49) Rene

@Rene нет, этот ответ не годится. Почему она Вам приснилась ровно с такими коэффициентами? Если Вы ее именно с ними умеете решать - это одно. Но гораздо чаще тут публикуют задачи, авторы которых НЕ знают, как их решить. И вот тогда очень полезно понимать происхождение условия.

(5 Июл 14:31) knop
1

Ну то есть вот абстрактно я бы подобные задачи пробивал тригонометрической подстановкой типа x=3ctg(a), где a,b,c - углы треугольника. Тогда условие xy+yz+zx=3 выполнено автоматом, и можно сосредоточиться преобразовании и дифференцировании функции. Но, возможно, это тупиковый путь, поэтому я не хочу в него встревать, пока автор не сообщил, где именно он выудил такую задачу

(5 Июл 14:35) knop
2

@knop у меня очень бурная фантазия.... А если серьёзно, на одном форуме нашел, мне там решение не понравилось, скинул сюда.

(5 Июл 14:35) Rene
1

9sqrt2 ?

(5 Июл 18:50) Amir

@Amir почти наверняка. Вопрос только в том, как это доказать.

(5 Июл 20:34) knop
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
3

$$... \ \ge \dfrac {(12 (x^2+y^2+z^2)+6 (xy+yz+zx))^{3/2}}{\sqrt { (3x^2+10xy+5y^2)(7x^2+6xy+5y^2)+... }}=$$ $$= \dfrac {(12 (x^2+y^2+z^2)+6 (xy+yz+zx))^{3/2}}{\sqrt {46 (x^2+y^2+z^2)^2+110 (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+80 (x^3y+y^3x+ ..)+8 (x^3y+y^3z+z^3x)}} \ge$$ $$(2x^3y\le x^4+x^2y^2, \ ...)$$ $$\ge\dfrac {(12 (x^2+y^2+z^2)+6 (xy+yz+zx))^{3/2}}{\sqrt {50 (x^2+y^2+z^2)^2+114(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+80 (x^3y+y^3x+ ..)}} \ge 3\sqrt{ 6(xy+yz+zx)}$$ $$x+y+z=p=1 \ , \ xy+yz+zx=q \le \dfrac {1}{3}\ ,\ r=xyz$$

$$\Leftrightarrow \dfrac {(12 (p^2-2q)+6q)^3}{50 (p^2-2q)^2+14q^2+80q (p^2-2q)-108r}\ge 54q $$

$$p^3+9r\ge 4pq\ (\ неравенство\ Шура)$$

$$ \Leftrightarrow \dfrac {(1-3q)(27q^2-55q+16)}{27q^2-84q+31} \ge 0 $$

ссылка

отвечен 6 Июл 14:06

изменен 6 Июл 15:09

knop's gravatar image


20.3k529

2

а самое первое нер-во - это что?

(6 Июл 15:10) knop
1

Первый переход Гельдер или Йенсен

(6 Июл 15:52) Sergic Primazon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×495
×64

задан
5 Июл 13:23

показан
239 раз

обновлен
13 часов назад

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru