|
Простые числа p та q такеи, что (p^2+q^2) делится нацело на (p+q). Найти все возможные значения p/q Помогите! задан 11 Окт '13 20:42 
artemoning |
|
Поскольку $%(p+q)^2$% всегда делится на $%p+q$%, условие делимости (нацело) числа $%p^2+q^2$% на $%p+q$% равносильно тому, что $%2pq=(p+q)^2-(p^2+q^2)$% будет делиться на $%p+q$%. Иными словами, $%p+q$% будет одним из делителей числа $%2pq$%. Но ввиду простоты чисел $%p$% и $%q$% нам известны все делители произведения $%2pq$%, и их легко выписать: это $%1$%, $%2$%, $%p$%, $%q$%, $%2p$%, $%2q$%, $%pq$%, $%2pq$%. Среди чисел возможны повторения, но при этом ни один вариант не упущен. Число $%p+q$% находится в указанном списке. Очевидно, что оно не равно ни $%1$%, ни $%2$%, поскольку наименьшее возможное значение суммы составляет $%2+2=4$%. Ясно также, что $%p+q$% не равно ни $%p$%, ни $%q$%, так как сумма больше каждого из этих чисел. Случаи $%p+q=2p$% и $%p+q=2q$% ведут к равенству $%p=q$%. В этом случае делимость имеет место всегда. Далее, уравнение $%p+q=pq$% можно переписать в виде $%(p-1)(q-1)=1$%, что ведёт к $%p-1=q-1=1$%, то есть $%p=q=2$%, и числа снова получаются одинаковыми. Наконец, равенство $%p+q=2pq$% невозможно, так как $%2pq=pq+pq > p+q$% ввиду $%q > 1$%, $%p > 1$%. Таким образом, единственное возможное значение частного $%p/q$% равно $%1$%. отвечен 11 Окт '13 21:03 
falcao |
|
$%p^2+q^2=(p+q)^2-2pq $% делится на $%p+q$%, отсюда следует, что $%2pq$% делится на $%p+q.$% Множество делителей $%2pq,$% это $%\{1;2;p;q;2p;2q;pq;2pq\}.$% Значит имеет место одно из равнеств: $%p+q=2q; p+q=2p;p+q=pq; p+q=2pq.$% Из первых 2-х получаем $%p=q \Rightarrow p/q=1$%,из $%p+q=pq \Rightarrow p=q=2.$% А третий не возможен, потому что получется $% p=1$%. И так $%p/q=1.$% отвечен 11 Окт '13 21:14 
ASailyan |