Простые числа p та q такеи, что (p^2+q^2) делится нацело на (p+q). Найти все возможные значения p/q

Помогите!

задан 11 Окт '13 20:42

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку $%(p+q)^2$% всегда делится на $%p+q$%, условие делимости (нацело) числа $%p^2+q^2$% на $%p+q$% равносильно тому, что $%2pq=(p+q)^2-(p^2+q^2)$% будет делиться на $%p+q$%. Иными словами, $%p+q$% будет одним из делителей числа $%2pq$%. Но ввиду простоты чисел $%p$% и $%q$% нам известны все делители произведения $%2pq$%, и их легко выписать: это $%1$%, $%2$%, $%p$%, $%q$%, $%2p$%, $%2q$%, $%pq$%, $%2pq$%. Среди чисел возможны повторения, но при этом ни один вариант не упущен.

Число $%p+q$% находится в указанном списке. Очевидно, что оно не равно ни $%1$%, ни $%2$%, поскольку наименьшее возможное значение суммы составляет $%2+2=4$%. Ясно также, что $%p+q$% не равно ни $%p$%, ни $%q$%, так как сумма больше каждого из этих чисел. Случаи $%p+q=2p$% и $%p+q=2q$% ведут к равенству $%p=q$%. В этом случае делимость имеет место всегда. Далее, уравнение $%p+q=pq$% можно переписать в виде $%(p-1)(q-1)=1$%, что ведёт к $%p-1=q-1=1$%, то есть $%p=q=2$%, и числа снова получаются одинаковыми. Наконец, равенство $%p+q=2pq$% невозможно, так как $%2pq=pq+pq > p+q$% ввиду $%q > 1$%, $%p > 1$%.

Таким образом, единственное возможное значение частного $%p/q$% равно $%1$%.

ссылка

отвечен 11 Окт '13 21:03

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%p^2+q^2=(p+q)^2-2pq $% делится на $%p+q$%, отсюда следует, что $%2pq$% делится на $%p+q.$% Множество делителей $%2pq,$% это $%\{1;2;p;q;2p;2q;pq;2pq\}.$% Значит имеет место одно из равнеств: $%p+q=2q; p+q=2p;p+q=pq; p+q=2pq.$%

Из первых 2-х получаем $%p=q \Rightarrow p/q=1$%,из $%p+q=pq \Rightarrow p=q=2.$% А третий не возможен, потому что получется $% p=1$%.

И так $%p/q=1.$%

ссылка

отвечен 11 Окт '13 21:14

изменен 11 Окт '13 21:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,394
×52

задан
11 Окт '13 20:42

показан
686 раз

обновлен
11 Окт '13 21:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru