В городе, схема улиц которого соответствует квадратной сетке, преступники на машине пытаются скрыться от полицейских, при этом они на каждом перекрестке меняют направление движения (право-лево) с одинаковыми вероятностями (1/2) в этих направлениях. На одной из улиц полицейские выставили надежный блокпост, но, ожидая преступников справа, они их все же упустили, так как машина, которую они собирались задержать промчалась слева направо. Зная теорию вероятностей, полицейские решили, чтобы попусту не гоняться за преступниками и не тратить силы и бензин, спокойно ждать их на том же месте, поскольку они обязательно на него вернутся. Чтобы оптимально распределить силы и обеспечить максимальную надежность блокпоста, полицейским нужно знать вероятность того, что в следующий раз машина с преступниками будет следовать справа налево. Им ясно, что если машина ушла вправо, то вероятность появления ее справа будет выше, но насколько? Нужно знать точно - вот в чем задача.

Примечание: Число улиц в городе можно считать достаточно большим, чтобы не ограничивалась возможность выбора преступниками направления движения при оговоренных выше условиях.

задан 12 Окт '13 0:07

Я не совсем улавливаю сюжет. Поначалу я понял так, что на каждом перекрёстке преступники обязательно совершают поворот налево или направо, то есть не едут вперёд по ходу своего движения. Поэтому мне не ясен смысл оборота "промчалась слева направо". Я его понимаю так, что машина как ехала слева направо, так и продолжала это делать, никуда не сворачивая. Поясните, пожалуйста.

(12 Окт '13 0:34) falcao

@Falcao, блокпост установлен в каком-то месте на одной из улиц (не на перекрестке). К сожалению, эту деталь не оговорил и возникла неясность.

(12 Окт '13 0:39) Urt

Тогда ещё одно уточнение: я сейчас понимаю ситуацию так, что движение везде двустороннее, и поймать преступников (при неподвижном положении полиции) можно только при условии, что они поедут именно по той стороне, на которой расположен пост. Можно ли тогда формализовать задачу так: есть два соседних узла A и B; машина проехала от A к B. Далее отслеживается первый момент, когда машина в следующий раз проедет между этими же узлами, и спрашивается, какова разность вероятности проехать от B до A и вероятности проехать от A до B?

(12 Окт '13 0:49) falcao

Да, именно так. При этом, естественно, достаточно определить одну из вероятностей.

(12 Окт '13 0:54) Urt

Задача интересная -- будет над чем подумать. Правда, мне пока не понятно, почему достаточно определить одну из вероятностей -- ведь ситуация не выглядит симметричной?

(12 Окт '13 1:52) falcao

@Urt: прошу прощения -- я сам только что осознал нелепость заданного мной вопроса :)

(12 Окт '13 2:02) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Отвечаю здесь, хотя это по сути не ответ, а комментарий.

Я сейчас обнаружил, что при имеющейся постановке задачи, вероятность поймать преступников равна нулю :) Действительно, все перекрёстки можно раскрасить в шахматном порядке, и при этом перекрёсток B (конец отрезка, по которому проехала машина) обладает тем свойством, что после его проезда движение становится вертикальным. Это значит, что при имеющемся условии чередования направлений движения, машина никогда не проедет от B к A.

Видимо, надо как-то подкорректировать условие, чтобы задача стала содержательной.

ссылка

отвечен 16 Окт '13 19:33

В этом был смысл задачи. При обязательной смене направлений (направо/налево), независимо от вероятностей движения в этих направлениях, получаем P(AB)=1, P(BA)=0., т. е. машину нужно ждать опять слева. При указанной Вами раскраске (для определенности узел А белый, АВ горизонтальна) движение от белых к черным по горизонтали, а от черных к белым по вертикали.
В более общем (не вырожденном) случае идея решения подобных задач прозрачна, однако вариантов с красивыми аналитическими решениями я пока не увидел.

(16 Окт '13 23:59) Urt

Честно говоря, я был уверен в том, что эта задача другого типа, то есть с "невырожденным" ответом. Это, конечно, надо было заметить сразу, но я на какое-то время отложил размышления, а потом выписал производящие функции, и вдруг заметил, что интересующая меня величина получается равной нулю :) Только тогда до меня дошло. Может быть, имеет смысл рассмотреть вариант с движениями в трёх направлениях, или даже в четырёх?

(17 Окт '13 0:04) falcao

Я специально оставил задачу в вырожденном виде и «спрятал» ее за вероятностной трактовкой. При этом принимал во внимание, что ее рассмотрение приведет к постановке общей и ряда частных задач с аналогичными движениями, а также к вопросам об условиях вырождения (или структурирования) моделей таких движений. Конечно, все эти вопросы весьма интересны.

(17 Окт '13 0:23) Urt

@Falcao, я задумался над вопросом об условии максимальной вероятности прохождения отрезка АВ в направлении (ВА) при недопустимости разворота и одинаковых вероятностях поворотов направо/налево. Для меня ответ не очевиден, не будет ли здесь вырождения: Рпр => 1. Имеет ли смысл сформулировать отдельной задачей? При этом рассмотреть также другие частные случаи.

(17 Окт '13 13:58) Urt

@Urt: я пока не понял, какие условия движения имеются в предлагаемой версии. Правильно ли я понимаю, что здесь теперь имеется один новый параметр -- вероятность продвижения прямо. Это какое-то число $%q$% между нулём и единицей. Вероятности повернуть налево/направо считаются равными $%(1-q)/2$% каждая. В исходном виде считалось, что $%q=0$%, а теперь предлагается исследовать общий случай. Если да, то я поддерживаю идею поставить новый отдельный вопрос.

(17 Окт '13 14:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,328
×1,743

задан
12 Окт '13 0:07

показан
733 раза

обновлен
17 Окт '13 14:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru