3
1

Найдите все простые числа $%p$%,$%q$% и $%r$% такие, что

$$\frac{p^{q}-q^{p}}{p+q}=r-1.$$

задан 13 Июл '21 16:47

изменен 3 Окт '21 16:08

2

Пока есть только отдельные мысли. Ясно, что p не равно q, и после прибавления 1 к обеим частям, числитель делится на p по малой теореме Ферма. Отсюда r=p, и уравнение немного упрощается. При p=2 легко проверить, что q=5. Остаётся доказать, что случай p>=3 невозможен. Примерная идея в том, что числитель при этом быстро растёт. Но технически это пока до кондиции я не довёл.

(13 Июл '21 23:41) falcao

@falcao У вас ещё есть желание добить эту задачу? Я просто сегодня о ней вспомнил и состряпал решение, но шанс хочется дать :)

(2 Окт '21 23:12) Rene

У меня получилось, что p-2 делится на q. Значит p>q и числитель отрицательный.

(2 Окт '21 23:27) mihailm

@Rene: я уже подзабыл про эту задачу, и не помню, до какой "кондиции" она была доведена. Но возвращаться к ней точно не хочу. Так что смело можете изложить решение.

(2 Окт '21 23:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Итак, у нас $%p \neq q$%. Тогда переписываем следующим образом: $%p^{q}-q^{p}=(r-1)(p+q)$%. Возьмём это по модулю $%p$% и получим $%-q^{p}=(r-1) q \bmod p \Rightarrow r=0 \bmod p$%. Поскольку $%r$% простое, сразу получаем $%r=p$%.

Возьмём это по модулю $%q$% и получим $%p^{q}=(r-1) p \bmod q \Rightarrow r=2 \bmod q$%.

Таким образом, мы получаем $%p=r=kq+2$%. Обратите внимание, что $%p>q>e \Rightarrow p^{q}-q^{p}<0$%, что определенно неверно в нашем случае.

Единственный другой выбор - это $%p=r=2$%. Таким образом, $%2^{q}-q^{2}=q+2$%. Единственное целочисленное решение этого уравнения - это $%q=5$%.

Итак, у нас есть решение $%p=2$%, $%q=5$%, $%r=2$%. Теперь случай $%p=q$%, очевидно, не дает нам других решений, поскольку $%r=1$% не является простым числом.

Фактически у нас есть только одно решение: $%p=2$%, $%q=5$%, $%r=2$%.

ссылка

отвечен 3 Окт '21 11:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,009
×968
×177

задан
13 Июл '21 16:47

показан
306 раз

обновлен
3 Окт '21 16:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru