$$ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \exp \left(-5 x^{2}+8 x y-5 y^{2}\right) . \text { Hint: } \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi} $$

Подскажите, как решать, пожалуйста.

задан 15 Июл 17:34

1

приведите квадратичную форму к каноническому виду...

(15 Июл 17:54) all_exist
1

После выделения полных квадратов в показателе экспоненты сделайте линейную замену и получите два интеграла типа hint.

(15 Июл 18:17) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
1

Два варианта:

Прежде всего отметим, что данный результат подразумевает (заменой $%u=ax$%), что

$$ \int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left(-a^{2} x^{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{a}.$$

Теперь пиши:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-5 x^{2}+8 x y-5 y^{2}} d x d y=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-5\left(x-\frac{4}{5} y\right)^{2}-\frac{9}{5} y^{2}} d x d y $$

$$ =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-5\left(x-\frac{4}{5} y\right)^{2}} d x e^{-\frac{9}{5} y^{2}} d y $$

$$ =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sqrt{\pi}}{5} e^{-\frac{9}{5} y^{2}} d y $$

$$ =\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{5}} \frac{\sqrt{5 \pi}}{\sqrt{9}}=\frac{\pi}{3}.$$

и 2-ой способ:

$$ I_{N}=\int_{R^{N}} d^{N} xe^{-\lt x|A| x\gt}$$

, где $%\lt x \mid$% обозначает вектор с компонентами $%\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{N}\right)$% и $%A=\left(a_{i k}\right)-N \cdot N$% матрица. В нашем случае $%N=2$%;$%\,A=\left(\begin{array}{cc}5 & -4 \\ -4 & 5\end{array}\right)$%.

Чтобы проверить, сходится ли интеграл, мы должны убедиться, что определитель положительный. Фактически, $%(\operatorname{det} A)=25-16=9>0$%.

С помощью ортогональной матрицы (состоящей из собственных векторов) мы можем диагонализовать квадратичную форму $%\lt x|A| x\gt $%; якобиан такого преобразования равен единице, и определитель не меняется.

В общем случае $%N$% размерностей

$$ I_{N}=\frac{(\sqrt{\pi})^{N}}{\sqrt{\operatorname{det} A}}.$$

В нашем случае

$$ I=\frac{\pi}{\sqrt{\operatorname{det} A}}=\frac{\pi}{\sqrt{9}}. $$

ссылка

отвечен 15 Июл 18:59

изменен 15 Июл 19:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,991
×1,410
×161
×6
×3

задан
15 Июл 17:34

показан
170 раз

обновлен
15 Июл 19:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru