|
На ребрах ВС и МВ правильного тетраэдра МАВС взяты соответственно точки D и Е - середины этих ребер. Найти углы между следующими плоскостями: ADE и ACE задан 13 Окт '13 13:21 
Amalia
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Можно вводить базисные векторы $%\vec{MA}=\vec{a},\vec{MB}=\vec{b},\vec{MC}=\vec{c}.$% Пусть $%MA=MB=MC=AB=AC=BC=x, $% $% \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{b}=x^2cos60^0=\frac{x^2}2,$% $%\vec a^2=\vec b^2=\vec c^2=x^2.$% $%CH\perp AE, DF\perp AE$%. Достаточно найти $%\angle(\vec{HC},\vec{FD)}.$% Так-как $%MB\perp (AEC)$%, то $%CH\perp (AMB).$% Значит $%\vec{CH}=\frac13 (\vec{CM}+\vec{CA}+\vec{CB})=\frac13\vec a+\frac13\vec b-\vec c,\vec{HC}=\vec c-\frac13\vec a-\frac13\vec b,$% $% |\vec{CH}|=CH=MO=\sqrt{AM^2-AO^2}=x\sqrt{\frac23}.$% $%cos\angle EAD=\frac{AE^2+AD^2-ED^2}{2AE\cdot AD}=\frac56,$% $% AF=ADcos\angle EAD=\frac56AE=\frac{5\sqrt3x}{12}, DF=\sqrt{AD^2-AF^2}=\frac{x\sqrt{33}}{12}.$% $%\vec{AF}=\frac56\vec{AE}=\frac56(\frac12\vec b-\vec a)=\frac5{12}\vec b-\frac56\vec a$% $%\vec{FD}=\vec{AD}-\vec{AF}=\frac12(\vec b+\vec c)-\vec a-\frac5{12}\vec b+\frac56\vec a=\frac1{12}\vec b+\frac12\vec c-\frac{1}{6}\vec a.$% Остается определить угол между двумя плоскостями по формуле $%cos(\angle{\vec{HC};\vec{FD}})=\frac{\vec{HC}\cdot\vec{FD}}{|\vec{HC}|\cdot |\vec{FD}|}=\frac{(\vec c-\frac13\vec a-\frac13\vec b)\cdot (\frac1{12}\vec b+\frac12\vec c-\frac{1}{6}\vec a) }{x\sqrt{\frac23}\cdot\frac{x\sqrt{33}}{12} }=\frac 4{\sqrt{22}}$% $%\angle({\vec{HC};\vec{FD}})=arccos\frac 4{\sqrt{22}} $% отвечен 13 Окт '13 22:40 
ASailyan Так можно решить и предыдущие аналогичные задачи.
(14 Окт '13 0:25)
ASailyan
|
Здесь, как и в предыдущих случаях, можно применить координатный метод, хотя возможно и другое решение, с построением перпендикуляров к прямой $%AE$% для каждой из плоскостей. Но я бы предпочёл первый способ, потому что там всё автоматически вычисляется.
@falcao я хотела тут показать как я уравнение плоскости составляю А(0;0;0) Е(3/4;√3/12;√6/6) С(1/2;√3/2;0) под точку С подставляем координаты и получаем b=-1/√3a, пусть а=1; и теперь под точку Е 3/4-√3/12*√3/3+√6/6с=0 с=-2√6/3
у вас так же?
@Amalia, При использовании метода координат располагайте систему координат так, чтобы максимально использовать симметрии фигуры... В Вашем случае удобно начало координат расположить в центре грани $%ACM$%... тогда уравнение одной плоскости у Вас сразу будет известно... а точка $%B$% будет располагаться на оси $%Oz$%... ось$%Ox$% удобно расположить вдоль медианы $%AE$%...
пусть лучше так будет а то я еще больше запутаюсь, правильно ли я составила уравнение плоскости?
Для таких координат точек (сами координаты не проверял) - уравнение получается с найденными Вами коэффициентами...
@Amalia: я вычислений не проводил, но сейчас посмотрел -- у Вас коэффициенты вроде бы найдены верно. Другое дело, что их удобно было бы нормировать, то есть умножить, например, на $%\sqrt{3}$%. Тогда получилось бы $%a=\sqrt{3}$%, $%b=-1$%, $%c=-2\sqrt{2}$%. В таком виде и проверять удобнее.