lim (Cos(x/n^1/2))^n n->бескон

2 замечательный предел

задан 13 Окт '13 13:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big(cos\frac{x}{\sqrt{n}}\Big)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigg[\Big(1-2sin^2\frac{x}{2\sqrt{n}}\Big)^{\frac{1}{-2sin^2\frac{x}{2\sqrt{n}}}}\Bigg]^{\frac{-sin^2\frac{x}{2\sqrt{n}}}{\frac{x^2}{4n}}\cdot\frac{x^2}{2}}=[e]^{-1\cdot\frac{x^2}{2}}=e^{-\frac{x^2}{2}}.$$ Находится предел последовательности $%\Big(cos\frac{x}{\sqrt{n}}\Big)^n$%, здесь $%x$% - некоторое действительное число. Далее записываем последовательность в ином виде, с целью применение замечательных пределов $$\lim_{u\rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e;\quad \lim_{u\rightarrow 0}\frac{sinu}{u}$$(в квадратных скобках второй замечательный предел, в показателе степени - первый замечательный предел), а также следующего свойства пределов: если функции $%x(u)$% и $%v(u) $% имеют пределы в точке $%u_0,$% то существует $%\lim_{u\rightarrow u_0}x(u)^{y(v)}=x(u_0)^{y(v_0)}.$%

ссылка

отвечен 13 Окт '13 18:54

изменен 13 Окт '13 22:15

Anatoliy,извините за беспокойство. Пытаюсь самостоятельно изучить пределы, но пока получается не очень.Если не трудно распишите подробно, какими методом пользовались.

(13 Окт '13 20:37) ilia
10|600 символов нужно символов осталось
0

С точностью до технических деталей, должно получиться следующее. Косинус величины $%t$%, стремящейся к нулю, приблизительно равен $%1-t^2/2$% (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка). Поэтому в $%n$%-ю степень будет возводиться величина, которую можно заменить на $%1-x^2/2n$%. Далее можно воспользоваться следствием второго замечательного предела: $%\lim_{n\to\infty}(1+a/n)^n=e^a$% при $%a=-x^2/2$%.

ссылка

отвечен 13 Окт '13 18:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,898

задан
13 Окт '13 13:56

показан
787 раз

обновлен
13 Окт '13 22:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru