Как доказать, что

$$\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{2 k+1}\binom{n+k}{n-k}\binom{2 k}{k}=\frac{1}{2 n+1}\,?$$

задан 28 Июл 1:44

10|600 символов нужно символов осталось
3

Прежде всего, умножим обе части равенства на $%2n+1$% и, немного переписав биномиальные коэффициенты, получим, что надо доказать равенство $%\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\frac{2n+1}{2 k+1}\binom{n+k}{k}\binom{n}{k}=1$%, что эквивалентно $%\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^{k}\frac{2n+1}{2 k+1}\binom{n+k}{k}\binom{n}{k}=1$%, если учесть расширенное определение $%\displaystyle\binom{n}{k}$%. Далее, следуя технике отсюда, обозначая $%F(n,k)=(-1)^{k}\dfrac{2n+1}{2 k+1}\displaystyle\binom{n+k}{k}\binom{n}{k}$%, $%G(n,k)=2\cdot(-1)^{k-1}\displaystyle\binom{n+k}{k-1}\binom{n}{k-1}$%, непосредственно проверяем, что $%F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)$%. Тогда, суммируя по всем $%k$%, получаем, что $%\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}(F(n+1,k)-F(n,k))=0$%, поэтому $%\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(n,k)=\text{const}$%. Учитывая, что $%\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(0,k)=1$%, получим требуемое.

Функцию $%G(n,k)$% я, конечно, подобрал при помощи компьютера, рассмотрев некоторые варианты, связанные с функцией $%F(n,k)$%, как это рекомендовано по приведённой ссылке. Насколько я понял из интернет-источников, поиск функции $%G(n,k)$% в общем случае также осуществляется на компьютере. В сети можно найти коды\команды для нахождения этой функции по ключевым словам "WZ proof certificate".

ссылка

отвечен 28 Июл 6:49

изменен 28 Июл 7:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$a_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{2 k+1}\binom{n+k}{n-k}\binom{2 k}{k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k\dfrac {1}{2k+1}C_{n+k}^kC_{n}^k$$

$$I_{n+1}(t)=\int \dfrac {dt}{(1-t^2)^{n+1}}=C_{n}^0\dfrac {t^1}{1}+C_{n+1}^1\dfrac {t^3}{3}+\ ...$$

$$(1-t^2)^n=C_n^nt^0-C_n^{n-1}t^2+\ ...\ +(-1)^nC_n^0t^{2n}$$

Производящая функция $%a_n$%:

$$f_n (t)=I_{n+1}(t)(1-t^2)^n$$

$%a_n$%-коэффициент при $%\ \ (-1)^nt^{2n+1}$%

$$I_n=\dfrac {2n-1}{2n}I_{n-1}+\dfrac {t}{2n(1-t^2)^n}\ \ \ ,\ \ I_1=\dfrac {1}{2}\ln \left (\dfrac {1+t}{1-t} \right )$$

$$f_n (t)=I_{n+1}(t)(1-t^2)^n=\dfrac {2n-1}{2n}I_n (t)(1-t^2)^n+\dfrac {1}{2n}t=$$

$$=\dfrac {(2n-1)(2n-3)}{2n (2n-2)}I_{n-1}(t)(1-t^2)^n+\dfrac {2n-1}{2n(2n-2)}t (1-t^2)+\dfrac {1}{2n}t=$$

$$=\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}I_1 (t)(1-t^2)^n+\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}t\left ( \dfrac {0!!}{1!!} (1-t^2)^{n-1}+\dfrac {2!!}{3!!}(1-t^2)^{n-2}+\ ...\ +\dfrac {(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\right)$$

Коэффициент при $%(-1)^nt^{2n+1}:$%

$$\dfrac {(2n-1)!!}{2(2n)!!}\ln\left( \dfrac {1+t}{1-t}\right)(1-t^2)^n=\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}\left (\dfrac {t}{1}+\dfrac {t^3}{3}+\ ... \right)(1-t^2)^n$$

$$a_n=\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}\left ( \dfrac {C_n^n}{1}-\dfrac {C_n^{n-1}}{3}+\ ...+(-1)^n \dfrac {C_n^{n}}{2n+1}\right)=\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}\int_0^1 (1-x^2)^ndx=$$

$$=\dfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}B \left(n+1,\dfrac {1}{2}\right)=\dfrac {1}{2n+1}$$

ссылка

отвечен 28 Июл 7:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,992
×839

задан
28 Июл 1:44

показан
123 раза

обновлен
28 Июл 7:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru