сравнение - Как сравнить числа?

Возведём в квадрат оба числа, получится $%9+4\sqrt{5}$% и $%18$%. Вычтем из каждого числа по $%9$%; останется $%4\sqrt{5}$% и $%9$%. Возведём оба числа в квадрат, получится $%80$% и $%81$%. Знаки неравенств везде остаются прежними, то есть второе число больше.

Фактически, это и есть доказательство. При желании, его можно изложить в следующей форме. Начнём с очевидного неравенства $%80 < 81$%. Извлечём квадратные корни из обеих частей. Понятно, что получится $%\sqrt{80} < \sqrt{81}$%, то есть $%4\sqrt{5} < 9$%. Прибавим $%9$% к обеим частям: $%9+4\sqrt{5} < 18$%. Заметим, что в левой части стоит число, равное $%2^2+2\cdot2\sqrt{5}+\sqrt{5}^2=(2+\sqrt{5})^2$%. Извлечём из обеих частей квадратные корни, и получим $%2+\sqrt{5} < 3\sqrt{2}$%.

Нетрудно заметить, что это доказательство представляет собой изложение того же, что делалось раньше, но в обратном направлении. То есть никакой дополнительной информации в нём нет. Поэтому предпочтительнее излагать всё в более естественном виде. Такое доказательство является достаточно строгим.