|
$$\int\limits_0^1 {\sqrt[n]{{1 - \sqrt[n]{{1 - x}}}}dx} ,{\text{ }}n = 2,3,4,...$$ задан 30 Июл '21 17:01 
Igore
показано 5 из 10
показать еще 5
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
30 Июл '21 17:01
показан
438 раз
обновлен
30 Июл '21 19:34
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Замена $%\sqrt[n]{1-x}=y$% приводит к бета-функции. От неё -- к гамма-функции, а дальше формулы понижения.
я получил $%\frac{n \Gamma(n) \Gamma\left(\frac{1}{n}\right)}{\left(n^{2}+1\right) \Gamma\left(n+\frac{1}{n}\right)}$%, не знаю можно ли лучше.
Можно от гамм избавиться...
@caterpillar Как?
Формулами понижения. Пока гамма с дробью не сократится.
@caterpillar Г(n+1/n)=(n-1+1/n)Г(n-1+1/n)=(n-1+1/n)(n-2+1/n)...1/nГ(1/n)
Ну nГ(n)=n!
Ну то есть будет: n!/((n+1/n)(n-1+1/n)(n-2+1/n)....(1+1/n))
Хотя с другой стороны, у меня получилось даже лучше $$\sum_{r=0}^{n} \frac{(-1)^{r} \cdot\binom{n}{r}}{n r+1}.$$
Не знаю, насколько это лучше -- суммировать биномиальные коэффициенты вместо вычисления только произведения.
@caterpillar можете показать всё таки? То что я написал выше, это из серии "НУ типа можна", единственное, что я могу придумать это, если $%n$% - положительное целое число, то $$\Gamma\left(n+\frac{1}{n}\right)=\Gamma\left(\frac{1}{n}\right) \prod_{k=1}^{n}\left(n-k+\frac{1}{n}\right)$$
Это сократит $%\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)$% в числителе и заменит гамма-функцию в знаменателе конечным произведением. Мне неясно, представляет ли это какое-либо фактическое улучшение представления ответа.
@Rene, улучшения по сравнению с чем? С гамма-функцией? Улучшение несомненно, потому что в ответе не будет гамма-функции) Ну и общий член произведения я бы представил в виде $%\frac{1}{n}+k$%. Дальше можно умножить дробь на $%n^n$%, чтобы стало совсем хорошо)