$$z^3=-3i$$ (ответ в алгебраической форме без тригонометрических функций)

задан 14 Окт '13 18:04

изменен 14 Окт '13 22:56

Deleted's gravatar image


126

Представьте $%-3i$% в тригонометрической форме (можно в экспоненциальной). Далее запишите $%z$% как $%r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$%. Возведите в куб по формуле Муавра, приравнивая левую и правую часть уравнения. Тогда $%r$% находится сразу, а $%3\varphi$% находится с точностью до $%2\pi k$%. Это даёт три значения аргумента $%\varphi$% -- для $%k=0,1,2$%. У полученных углов вычисляются синус и косинус, после чего находится алгебраическая форма числа $%z$%. Получатся три разных решения.

(14 Окт '13 18:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Представьте комплексное число $%z$% в алгебраической форме: $%z=x+iy,$% затем возведите в куб, отделите действительную и мнимую части и уравняйте их с действительной и мнимой частями правой части, т.е. комплексного числа $%-3i.$% Получится система из двух уравнений с двумя неизвестными $%x,\;y.$%

ссылка

отвечен 14 Окт '13 18:38

изменен 14 Окт '13 18:52

@andron4ik: а Вы действия над комплексными числами умеете выполнять? Если нет, то давайте мы Вас научим! Так будет гораздо проще и полезнее.

(14 Окт '13 18:53) falcao

Для начала возведите в куб число $%x+iy$% и напишите результат.

(14 Окт '13 18:58) Mather

Нет, это вы записали сумму кубов чисел $%x$% и $%iy,$% т.е. $%x^3+(iy)^3,$% а Вам надо записать куб суммы $%(x+iy)^3.$%

(14 Окт '13 19:07) Mather

ааа, понял x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3

(14 Окт '13 19:11) andron4ik

Да, всё верно, только теперь надо учесть, что $%i^2=-1$% и упростить, записав число в алгебраической форме. А потом приравнять к $%0-3i$%, и получится требуемая система.

(14 Окт '13 19:15) falcao

получется x^3+3x^2iy-3xy^2+(IY)^3=-3i???

(14 Окт '13 19:20) andron4ik

можете написать систему а на выходных я сяду и разбирусь с этим всем

(14 Окт '13 19:36) andron4ik

@andron4ik: после упрощений не должно оставаться степеней $%i$% (кроме самого $%i$%). Например, что такое $%i^3$%? Это $%i^2\cdot i$%, то есть $%-i$%. А когда Вы это последнее упрощение сделаете, то систему напишете сами. Вам кажется, что в этом есть какая-то проблема только потому, что не упростили всё до конца.

(14 Окт '13 19:53) falcao

Действительная часть числа $%x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3$% равна $%x^3-3xy^2,$% а мнимая $%3x^2 y-y^3.$% Поэтому $% x^3-3xy^2=0, \;\; 3x^2 y-y^3=-3.$%

(14 Окт '13 19:56) Mather

спс большое

(14 Окт '13 20:16) andron4ik
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
0

В конкретно данном примере можно ответ угадывать... плюс немного знаний о корнях из единицы...

С учётом того, что $%i^3=-i$% получим, что $%z^3 = \left(i\sqrt[3]{3}\right)^3$%... и так далее... Один корень угадали, а два других получили на умножением на кубический корень из единицы...

ссылка

отвечен 14 Окт '13 19:48

изменен 14 Окт '13 19:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×797
×384

задан
14 Окт '13 18:04

показан
1751 раз

обновлен
14 Окт '13 20:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru