|
$$z^3=-3i$$ (ответ в алгебраической форме без тригонометрических функций) задан 14 Окт '13 18:04 
andron4ik |
|
Представьте комплексное число $%z$% в алгебраической форме: $%z=x+iy,$% затем возведите в куб, отделите действительную и мнимую части и уравняйте их с действительной и мнимой частями правой части, т.е. комплексного числа $%-3i.$% Получится система из двух уравнений с двумя неизвестными $%x,\;y.$% отвечен 14 Окт '13 18:38 
Mather @andron4ik: а Вы действия над комплексными числами умеете выполнять? Если нет, то давайте мы Вас научим! Так будет гораздо проще и полезнее.
(14 Окт '13 18:53)
falcao
Для начала возведите в куб число $%x+iy$% и напишите результат.
(14 Окт '13 18:58)
Mather
Нет, это вы записали сумму кубов чисел $%x$% и $%iy,$% т.е. $%x^3+(iy)^3,$% а Вам надо записать куб суммы $%(x+iy)^3.$%
(14 Окт '13 19:07)
Mather
ааа, понял x^3+3x^2iy+3x(iy)^2+(iy)^3
(14 Окт '13 19:11)
andron4ik
Да, всё верно, только теперь надо учесть, что $%i^2=-1$% и упростить, записав число в алгебраической форме. А потом приравнять к $%0-3i$%, и получится требуемая система.
(14 Окт '13 19:15)
falcao
получется x^3+3x^2iy-3xy^2+(IY)^3=-3i???
(14 Окт '13 19:20)
andron4ik
можете написать систему а на выходных я сяду и разбирусь с этим всем
(14 Окт '13 19:36)
andron4ik
@andron4ik: после упрощений не должно оставаться степеней $%i$% (кроме самого $%i$%). Например, что такое $%i^3$%? Это $%i^2\cdot i$%, то есть $%-i$%. А когда Вы это последнее упрощение сделаете, то систему напишете сами. Вам кажется, что в этом есть какая-то проблема только потому, что не упростили всё до конца.
(14 Окт '13 19:53)
falcao
Действительная часть числа $%x^3+3x^2iy-3xy^2-iy^3$% равна $%x^3-3xy^2,$% а мнимая $%3x^2 y-y^3.$% Поэтому $% x^3-3xy^2=0, \;\; 3x^2 y-y^3=-3.$%
(14 Окт '13 19:56)
Mather
спс большое
(14 Окт '13 20:16)
andron4ik
показано 5 из 10
показать еще 5
|
|
В конкретно данном примере можно ответ угадывать... плюс немного знаний о корнях из единицы... С учётом того, что $%i^3=-i$% получим, что $%z^3 = \left(i\sqrt[3]{3}\right)^3$%... и так далее... Один корень угадали, а два других получили на умножением на кубический корень из единицы... отвечен 14 Окт '13 19:48 
all_exist |
Представьте $%-3i$% в тригонометрической форме (можно в экспоненциальной). Далее запишите $%z$% как $%r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$%. Возведите в куб по формуле Муавра, приравнивая левую и правую часть уравнения. Тогда $%r$% находится сразу, а $%3\varphi$% находится с точностью до $%2\pi k$%. Это даёт три значения аргумента $%\varphi$% -- для $%k=0,1,2$%. У полученных углов вычисляются синус и косинус, после чего находится алгебраическая форма числа $%z$%. Получатся три разных решения.