произведения_и_факториалы - Докажите тождество

$$ \Gamma(1-z) \Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin (\pi z)} \text { для } z \notin \mathbb{Z}.$$

объединение множителей с индексами $%k=j$% с $%k=2n+1-j$% для каждого $%j=1,2,\ldots,n$% вместе дает

$$ \begin{aligned} \mathcal{P} &=\prod_{j=1}^{n}\left(\Gamma\left(\frac{j}{2 n+1}\right) \Gamma\left(1-\frac{j}{2 n+1}\right)\right) \\ &=\prod_{j=1}^{n} \frac{\pi}{\sin \left(\frac{\pi j}{2 n+1}\right)} \\ &=\pi^{n}\left[\prod_{j=1}^{n} \sin \left(\frac{\pi j}{2 n+1}\right)\right]^{-1}. \end{aligned} $$

Убрав гамма-функции, осталось оценить $%\mathcal{Q}=\prod_{i=1}^{n} \sin \left(\frac{\pi j}{2 n+1}\right)$%. Поскольку $%\sin (\pi-\theta)=\sin \theta$%, мы можем написать $$ \mathcal{Q}^{2}=\prod_{j=1}^{2 n} \sin \left(\frac{\pi j}{2 n+1}\right). $$

(Обратите внимание, что, поскольку каждый множитель в $%\mathcal{Q}$% положителен, $%\mathcal{Q}$% тоже положителен. Следовательно, мы извлекаем положительный квадратный корень, чтобы получить значение $%\mathcal{Q}$% из значения $%\mathcal{Q}^2$%.)

Вычисление $%\mathcal{Q}^2$% теперь напрямую следует из того факта, что $$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}.$$

Замена $%n$% на $%2n+1$% дает $%Q^{2}=\frac{2n+1}{2^{2n}}$%, и, следовательно, $%\mathcal{Q}=\frac{\sqrt{2 n+1}}{2^{n}}$%. Таким образом, мы заключаем, что $$ \mathcal{P}=\prod_{k=1}^{2 n} \Gamma\left(\frac{k}{2 n+1}\right)=\frac{(2 \pi)^{n}}{\sqrt{2 n+1}}. $$

БОНУС: Чтобы доказать это тождество $%\prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}$%, воспользуемся тем фактом, что $%\sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}=\frac{e^{i z}}{2 i} \cdot\left(1-e^{-2 i z}\right)$%. Тогда имеем:

$$ \begin{aligned} \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right) &=\prod_{k=1}^{n-1} \frac{e^{k \pi i / n}}{2 i} \cdot\left(1-e^{-2 k \pi i / n}\right) \\ &=\frac{e^{(1+2+\cdots+(n-1)) \pi i / n}}{(2 i)^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{-2 k \pi i / n}\right). \end{aligned} $$

Поскольку $%1+2+\cdots+(n-1)=\frac{(n-1) n}{2}$%, находим, что

$$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right)=\frac{e^{(n-1) \pi i / 2}}{(2 i)^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{-2 k \pi i / n}\right)=\frac{1}{2^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{-2 k \pi i / n}\right).$$

В последнем равенстве мы использовали $%e^{\pi i / 2}=i$%. Далее следует умная часть: переписать произведение как предел:

$$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right)=\frac{1}{2^{n-1}} \cdot \lim_{z \rightarrow 1} \prod_{k=1}^{n-1}\left(z-e^{-2 k \pi i / n}\right).$$

Поскольку $%z^{n}-1=\prod_{k=1}^{n}\left(z-e^{-2 k \pi i / n}\right)$%, получаем $$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right)=\frac{1}{2^{n-1}} \cdot \lim_{z \rightarrow 1} \frac{z^{n}-1}{z-1}.$$

Факторизуя числитель в пределе (или иначе), мы заключаем, что $$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}} .$$