Пусть функция f(x) >= 0 монотонная и пусть интеграл \int_0^{\infty} f(x) dx сходится. Докажите, что предел xf(x) при x стремящемся к бесконечности равен нулю.

P.S. можно в описание вопросов как-то компилировать код latex?

задан 26 Авг '21 21:34

изменен 26 Авг '21 21:36

Поставьте $% справа и слева от формулы

(26 Авг '21 23:05) mihailm

Вроде это просто неверно. Строим соответствующую лесенку, которая будет упираться в 1/х. Хотя что-то не уверен)

(26 Авг '21 23:27) mihailm

Да, не прокатывает моя конструкция в связи c доказательством @caterpillar

(27 Авг '21 9:23) mihailm
1

См. здесь.

(27 Авг '21 10:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Повтор вопроса". Закрывший - falcao 27 Авг '21 10:35

3

Понятно, что речь об убывающей функции $%f$%. Пусть $%0 < x_1 < x_2$%, тогда $$f(x_2)(x_2-x_1)\le\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx\le\int\limits_{x_1}^{\infty}f(x)dx,\implies x_2f(x_2)\le\frac{x_2}{x_2-x_1}\int\limits_{x_1}^{\infty}f(x)dx.$$

В силу сходимости интеграла, по произвольному $%\varepsilon>0$% сперва найдём $%x_1>0$% такой, что $%\displaystyle \int\limits_{x_1}^{\infty}f(x)dx<\dfrac{\varepsilon}{2}$%, а потом заметим, что для всех $%x_2>2x_1$% будет $%\dfrac{x_2}{x_2-x_1}=1+\dfrac{x_1}{x_2-x_1}<2$%, поэтому $%x_2f(x_2)<\varepsilon$%.

Второй способ: т.к. интеграл сходится, то по критерию Коши $$\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\forall x>\delta\;\int\limits_x^{2x}f(t)dt<\frac{\varepsilon}{2}\implies xf(2x)<\frac{\varepsilon}{2}\implies 2xf(2x)<\varepsilon.$$

Тем самым, $%\lim\limits_{x\to\infty}2xf(2x)=0$% и после замены $%2x=t$% получим требуемое.

ссылка

отвечен 27 Авг '21 6:35

изменен 27 Авг '21 6:58

10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,140
×1,436
×164

задан
26 Авг '21 21:34

показан
247 раз

обновлен
27 Авг '21 10:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru