|
Пусть $%(\Omega,\mathcal A,\mathrm P)$% - вероятностное пространство, $%X$% - рефлексивное банахово пространство. Пусть далее, $%\xi:\Omega\to X$% измеримое отображение такое, что $$\forall x^\ast \in X^\ast \, \int\limits_\Omega |\langle x^\ast,\xi(\omega)\rangle|d\mathrm P <\infty$$ Докажите, что существует элемент $%m\in X$%, называемый математическим ожиданием элемента $%\xi$% такой, что $$\forall x^\ast \in X^\ast \,\int\limits_\Omega \langle x^\ast,\xi(\omega)-m\rangle d\mathrm P=0$$ задан 17 Окт '13 11:23 
MathTrbl |
|
При фиксированном $%\xi$%, отображение $$x^{\ast}\mapsto\int\limits_{\Omega}\langle x^{\ast},\xi(\omega)\rangle\,dP$$ определено и является непрерывным линейным функционалом на $%X^{\ast}$%. Ввиду рефлексивности пространства $%X$%, существует такой его элемент $%m$%, который индуцирует тот же самый функционал на $%X^{\ast}$%, заданный по правилу $%x^{\ast}\mapsto\langle x^{\ast},m\rangle$%, откуда следует нужное заключение ввиду $%P(\Omega)=1$%. отвечен 18 Окт '13 16:15 
falcao Всё пытаюсь найти какой-то вопрос, который достаточно интересен, чтобы как-то сгладить форум от школьных вопросов, но вы всё решаете. Вы просто гений.
(22 Окт '13 11:50)
MathTrbl
|