|
$%\begin{array}{l} {\text{На стороне }}BC{\text{ правильного треугольника }}ABC{\text{ отмечены точки }}{P_1},{P_2},{P_3},...,{P_{n - 1}} \hfill \\ {\text{так что лучи }}A{P_1},{\text{ }}A{P_2},A{P_3},...,A{P_{n - 1}}{\text{ разбивают }}\angle BAC{\text{ на }}n{\text{ равных углов}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{При этом треугольник }}ABC{\text{ разбивается на }}n{\text{ треугольников}}{\text{. Точки }}{T_1},{T_2},{T_3},...,{T_n}{\text{ - }} \hfill \\ {\text{точки Торричелли этих треугольников}}{\text{. Докажите}}{\text{, что точки }}{T_1},{T_2},{T_3},...,{T_n},B,C \hfill \\ {\text{лежат на одной окружности}}{\text{. Найдите радиус этой окружности}}{\text{, если }}AB = 1. \hfill \\ \end{array} $%
задан 8 Сен '21 14:32 
Igore |
|
Угол $%AT_iP_i$% равен 120 градусам, поэтому вокруг $%ABP_iT_i$% описывается окружность. Следовательно, угол $%BT_iP_i$% равен $%BAP_i$%. По аналогичным причинам, угол $%CT_iP_{i-1}$% равен $%CAP_{i-1}$%. Вместе эти углы дают $%\frac{\pi}3-\frac{\pi}{3n}$%. Угол $%BT_iC$% складывается из двух упомянутых выше углов и угла $%P_{i-1}T_iP_i$%, равного $%\frac{2\pi}3$%. Поэтому он равен $%\pi-\frac{\pi}{3n}$%, откуда ясно, что он не зависит от $%i$%, поэтому все точки Торричелли лежат на окружности. Если $%R$% -- её радиус, то по теореме синусов $%2R\sin\frac{\pi}{3n}=BC=1$%, что позволяет найти $%R$%. отвечен 10 Сен '21 2:21 
falcao |
Не знаю пока как доказать, что точки лежат на одной окружности. Но радиус окружности $% R= \Large \frac{1}{2sin \frac{ \pi }{3n} } $%
Нужно доказать, что все углы $%\angle B{T_i}C$% равны $%\pi - \frac{\pi }{{3n}}$%.
@Rams А как нашли этот радиус, можно узнать?