1
2

Продолжение биссектрисы $%BD$% треугольника $%ABC$% пересекает описанную около него окружность в точке $%S$%. Окружность,описанная около треугольника $%ADS$% пересекает прямую $%AB$% в точке $%K$%, $%AB=8$%,$%AK=1$%,$%угол A=60градусов$%. Найти $%BC$%. У меня никак не получается найти BC , больно мало дано))) Я опустил высоту из вершины $%B$% на $%AC$% и нашел саму высоту и $%AH$%($%H$%-точка пересечения высоты со стороной $%AC$%) Также, так как получаются два вписанных треугольника появляется много вписанных углов... Всё же подскажите что именно рассматривать чтобы найти BC?

задан 17 Окт '13 13:28

10|600 символов нужно символов осталось
3

Будем считать, что точка $%K$% лежит на отрезке $%AB$%. Вообще говоря, она может лежать и на продолжении луча $%BA$% за точку $%A$%, но пока что рассмотрим данный случай в качестве основного.

Рассматривая окружность, описанную около $%ASDK$%, выделяем два вписанных угла $%KAD$% и $%KDS$%, опирающиеся на одну дугу. Оба они равны $%60$% градусам. Далее, углы $%BAC$% и $%BSC$% опираются на одну и ту же дугу окружности, описанной около треугольника $%ABC$%. Значит, они тоже равны $%60$% градусам. Из сказанного следует, что $%SB$% есть биссектриса угла $%KSC$%: она делит этот угол на два равных угла (по $%60$% градусов каждый).

Мы пришли к тому, что в четырёхугольнике $%BKSC$% диагональ $%BS$% является осью симметрии -- с учётом того, что $%BS$% есть также биссектриса угла $%KBC$%. При этой симметрии отрезок $%BK$% переходит в $%BC$%, откуда $%BC=BK=AB-AK=8-1=7$%.

Здесь фактически даже не использовано то, что угол $%A$% равен $%60$% градусам. Нужно проверить только второй случай расположения точки $%K$% на предмет того, возможен ли он. Если да, то $%BK=8+1=9$%, и аналогичное рассуждение показывает, что $%BC=BK$%, то есть имеется второй ответ.

ссылка

отвечен 17 Окт '13 14:06

оо... а я ведь тоже находил что эти 2 угла по $%60$%, но не пришла в голову мысль с осью симметрии, как всегда что-то упускаю,глаза разбегаются :) Спасибо, красиво получилось)

(17 Окт '13 14:32) Dragon65

Действительно ось симметрии)) и объяснение прозвучало красиво.. а в школе, скорее, написали бы, что 2 треугольника ($% BKS$% и $%BCS$% ) равны ( по общей стороне, и двум углам) =) то же самое - только сами слова "ось симметрии" в школах звучат не так часто (наверное, "к сожалению"..)
@falcao, я ни в коем случае не пытаюсь "исправлять" Вас - это я "просто так"..=)) задача понравилась =))

(18 Окт '13 2:47) ЛисаА

@ЛисаА: я учился в школе по "колмогоровской" программе, поэтому для нас рассуждение в терминах геометрических преобразований было наиболее "ходовым". Интереснее всего здесь следующее: признаки равенства треугольников чаще всего берутся как нечто "готовое" и никак не обосновываются. Но если бы это попытались сделать, доказав возможность наложения данных двух треугольников, то никакого другого преобразования плоскости, отличного от осевой симметрии, для этого (в общем случае) просто нет! :) "Направленность" Вашей мысли мне сразу была понятна -- хорошо, что обратили внимание.

(18 Окт '13 3:05) falcao

@falcao, Вы правы: ни в мои школьные годы, ни сейчас сама "возможность" наложения треугольников - почти никак и не обосновывается.. (хотя сейчас учебников много разных.. не знаю, может, где-то и делается упор на геометрические преобразования)

(18 Окт '13 3:27) ЛисаА

@ЛисаА: меня всегда до некоторой степени удивляло это положение дел. Хотя в школьной геометрии есть много вещей, которые не обосновываются на строго аксиоматическом уровне (что так и должно быть), здесь речь идёт о полезных и несложных рассуждениях, проясняющих "откуда что берётся". Поэтому полезно было бы эти вещи рассматривать хотя бы "мелким шрифтом". К сожалению, после того как "колмогоровскую" программу "завернули" под надуманными предлогами (вместо того, чтобы привыкать и приучать к ней), вернулись к совсем "допотопным" подходам.

(18 Окт '13 12:50) falcao

@falcao: можно еще, узнав угол $%ACB$%, по теореме синусов радиус найти, но Ваш способ основан на простых соображениях, он мне больше понравился.

(10 Апр '14 9:39) kirill1771
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

@falcao, Нужно проверить только второй случай расположения точки K на предмет того, возможен ли он - Оба варианта возможны... только во втором $%\angle KSD$% дополняет $%\angle KAD = 120^o$% до развёрнутого...

alt text

ссылка

отвечен 17 Окт '13 15:56

@all_exist: я писал этот ответ во время перерыва между лекциями, поэтому успел осознать, что если второй случай возможен, то доказательство выглядит аналогично (с ответом 8+1=9). Но у меня не было времени строго доказать существование требуемой конфигурации. При этом было общее ощущение, что она возможна.

(17 Окт '13 17:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×544

задан
17 Окт '13 13:28

показан
1859 раз

обновлен
10 Ноя '14 19:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru