$%{\text{Вычислите:}}$%

$$\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^{100}}xdx} } \right) \cdot \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^{101}}xdx} } \right)$$

задан 9 Сен 18:38

2

Вычисление интегралов от степеней синуса -- стандартнейшая задача. Надо выделить один синус, проинтегрировать по частям, воспользоваться основным тригонометрическим тождеством и получить рекуррентную формулу, по которой легко восстанавливается явная зависимость интеграла от степени. Для чётного и нечётного n будут разные ответы (при чётном в ответе участвует п).

Также можно каждый из интегралов записать через бета-функцию, используя одно из определений, которое через тригонометрию. Бету через гамму, а там уже через факториалы и гамму от 1/2.

(9 Сен 18:48) caterpillar
1

Для обоих интегралов известны значения. Совсем недавно был вопрос про интеграл от сотой степени синуса. Если не ошибаюсь, произведение I(2n)I(2n+1) равно п/(4n+2), то есть в ответе п/202.

(9 Сен 19:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Решение через бета-функцию практически не требует вычислений, если знать формулы. $$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{100}xdx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2\cdot\frac{101}{2}-1}x\cos^{2\cdot\frac{1}{2}-1}xdx=\frac{B(\frac{101}{2},\frac{1}{2})}{2}=\frac{\Gamma(\frac{101}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{2\Gamma(51)},$$$$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{101}xdx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2\cdot51-1}x\cos^{2\cdot\frac{1}{2}-1}xdx=\frac{B(51,\frac{1}{2})}{2}=\frac{\Gamma(51)\Gamma(\frac{1}{2})}{2\Gamma(51+\frac{1}{2})}.$$ Перемножаем, используем свойства $%\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt\pi,$% $%\Gamma(x)\Gamma(-x)=-\dfrac{\pi}{x\sin(\pi x)}$%, $%\Gamma(\frac{1}{2}+x)\Gamma(\frac{1}{2}-x)=\dfrac{\pi}{\cos(\pi x)}$%: $$\frac{\Gamma(51-\frac{1}{2})}{4\Gamma(51+\frac{1}{2})}\cdot\Gamma^2(\frac{1}{2})=-\pi\cdot\frac{\pi}{4(51-\frac{1}{2})\sin\pi(51-\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2}-51)\Gamma(\frac{1}{2}+51)}=\frac{\pi}{202}.$$

ссылка

отвечен 9 Сен 19:26

Ясно, спасибо. На всякий случай оставлю явные формулы, может кому пригодится: $$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^{2k + 1}}xdx} = \frac{{\left( {2k} \right)!!}}{{\left( {2k + 1} \right)!!}},$$

$$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^{2k}}xdx} = \frac{{\left( {2k - 1} \right)!!}}{{\left( {2k} \right)!!}} \cdot \frac{\pi }{2},$$

$%k \in \mathbb{N}$%

(9 Сен 19:37) Igore
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,409

задан
9 Сен 18:38

показан
107 раз

обновлен
10 Сен 0:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru