Докажите тождество:

$$\int\limits_0^1 {\Gamma \left( {2 - x} \right)\Gamma \left( {2 + x} \right)dx} = \frac{{21\zeta \left( 3 \right)}}{{2{\pi ^2}}}.$$

задан 10 Сен 15:19

изменен 10 Сен 16:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку $%\Gamma(2-x)=-x(1-x)\Gamma(-x)$%, $%\Gamma(2+x)=x(1+x)\Gamma(x)$% и $%\Gamma(x)\Gamma(-x)=-\dfrac{\pi}{x\sin(\pi x)}$%, то интеграл принимает вид $%\pi\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x(1-x^2)}{\sin(\pi x)}dx$%. Далее, замена $%\pi x=2y$% приводит к $%\dfrac{4}{\pi^3}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{(\pi^2-4y^2)y}{\sin (2y)}dy=\dfrac{2}{\pi^3}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-4y^2)yd(\ln\text{tg}y)=-\dfrac{2}{\pi^3}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-12y^2)\ln\text{tg}ydy$%. Интегралы от логарифма тангенса, умноженного на одночлены, вычисляются по стандартной схеме с использованием рядов Фурье. Вычисления описаны здесь, их легко распространить на данный случай.

ссылка

отвечен 10 Сен 16:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,407
×8

задан
10 Сен 15:19

показан
62 раза

обновлен
10 Сен 16:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru