интегралы - Докажите тождество

Поскольку $%\Gamma(2-x)=-x(1-x)\Gamma(-x)$%, $%\Gamma(2+x)=x(1+x)\Gamma(x)$% и $%\Gamma(x)\Gamma(-x)=-\dfrac{\pi}{x\sin(\pi x)}$%, то интеграл принимает вид $%\pi\displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{x(1-x^2)}{\sin(\pi x)}dx$%. Далее, замена $%\pi x=2y$% приводит к $%\dfrac{4}{\pi^3}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{(\pi^2-4y^2)y}{\sin (2y)}dy=\dfrac{2}{\pi^3}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-4y^2)yd(\ln\text{tg}y)=-\dfrac{2}{\pi^3}\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-12y^2)\ln\text{tg}ydy$%. Интегралы от логарифма тангенса, умноженного на одночлены, вычисляются по стандартной схеме с использованием рядов Фурье. Вычисления описаны здесь, их легко распространить на данный случай.