задан 17 Окт '13 22:44

изменен 19 Окт '13 14:56

Это утверждение неверно: для любого натурального $%n$% имеется циклическая группа порядка $%n$%, которая всегда коммутативна. Уточните, пожалуйста, условие.

(17 Окт '13 22:48) falcao

Условие именно такое.Говорили даже, что примером некоммутативной конечной группы является группа из 6 элементов.Хотя 6 -это натуральное число,а дальше рассуждения такие же, как и те,что написаны вами.Может вы подскажете, что я не так поняла

(17 Окт '13 23:15) Яська

Условие заведомо неправильное, и в этом нет никаких сомнений. Но его можно скорректировать. Судя по тому, что Вы сейчас написали, правильный вариант условия такой: привести пример некоммутативной группы порядка 16. Такая задача имеет смысл, и она легко решается. Сейчас напишу решение в качестве ответа.

(17 Окт '13 23:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Условие задачи, как я уже говорил, некорректное, потому что бывают коммутативные группы любого порядка. Поэтому доказать здесь ничего нельзя, но можно привести пример некоммутативной группы порядка 16.

Прежде всего, не для всякого $%n$% можно привести такой пример. Наименьшее $%n$%, для которого пример некоммутативной группы существует, равно 6. Бывают также некоммутативные группы порядка 8, 10, 12, 14, 16. При этом известно, что любая группа простого порядка $%p$% коммутативна. Аналогичный факт верен для групп порядка $%p^2$%, хотя он доказывается более сложно. Также можно доказать (ещё более сложно), что группа порядка 15 всегда коммутативна (и даже циклична).

В качестве примера некоммутативной группы порядка $%2n$% ($%n\ge3$%) можно указать группу всех симметрий правильного $%n$%-угольника. Её элементами являются $%n$% поворотов и $%n$% осевых симметрий. Все чётные числа, начиная с 6, "покрываются" этим примером.

Некоммутативность следует вот из каких соображений. Рассмотрим две осевые симметрии относительно прямых $%a$% и $%b$%, угол между которыми является острым. У правильного $%n$%-угольника такие оси симметрии всегда есть. Их можно выбрать следующим образом. Пусть $%AB$% -- одна из сторон $%n$%-угольника. Тогда пусть $%a$% проходит через центр и вершину $%A$%, а $%b$% проходит через центр и середину стороны $%AB$%. Угол между прямыми равен $%\pi/n$%, то есть является острым.

Теперь осталось проверить, что такие осевые симметрии не коммутируют. Пусть при повороте на угол $%\alpha$% прямая $%a$% переходит в прямую $%b$% (центр поворота -- точка пересечения прямых). Тогда, если сначала выполнить осевую симметрию относительно $%a$%, а потом относительно $%b$%, то получится поворот $%R_O^{2\alpha}$% на угол $%2\alpha$%. Это основной факт в доказательстве, и в нём легко убедиться, сделав простой рисунок. Соответственно, если мы поменяем порядок выполнения преобразований, то получим поворот $%R_O^{-2\alpha}$% на угол $%-2\alpha$%. Так как угол был острый, эти повороты оказываются разными. Тем самым, осевые симметрии не коммутируют, и содержащая их группа оказывается некоммутативной.

Обращаю внимание на такой логический момент: коммутативная группа порядка $%n$% имеется всегда. Поэтому доказать некоммутативность группы порядка $%n$%, о которой мы ничего не знаем, в принципе нельзя. Но привести пример такой группы для некоторых $%n$% (в частности, для $%n=16$%) -- можно.

Вообще, для групп порядка 16 можно построить не один такой пример, а много. Даже для групп порядка 8 есть два разных примера некоммутативных групп. Один был указан выше, а второй -- так называемая группа кватернионов. Сделать же группу порядка 16 из группы порядка 8 легко: достаточно рассмотреть прямое произведение группы порядка 8 на (циклическую) группу порядка 2.

ссылка

отвечен 17 Окт '13 23:51

спасибо!Понятно все

(20 Окт '13 15:41) Яська
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×596

задан
17 Окт '13 22:44

показан
1223 раза

обновлен
20 Окт '13 15:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru