Пусть имеется n-мерное линейное векторное пространство (ЛВП); пусть начальная точка вектора А помещена в начале координат ЛВП, а вдоль её осей размещено n векторов $$(a_1, a_2,... a_n)$$, и пусть выполняется векторное равенство: A = $%a_1$% + $%a_2$% + .. + $%a_n$%. Пусть, далее, модули векторов таковы, что выполняется неравенство (1): $$(a_1 + a_2 + … + a_n) > A$$ (1) Можно показать, что всегда существует единственное вещественное положительное число x, такое, что справедливо равенство: $$A ^ x = (a_1) ^ x + (a_2) ^ x + … + (a_n) ^ x$$ (2) причём (1 < x < ∞). (Можно заметить кстати, что эта формула - обобщение теоремы Пифагора для ограниченных n-мерных пространств) Однако если по модулям величин выполняется неравенство (3) $$(a_1 + a_2 + … + a_n) < A$$, (3) то и в этом случае равенство (2) справедливо, причём (0 < x < 1) . Как геометрически интерпретировать равенство (2) в случае выполнения неравенства (3)?
$$Правка$$Недавно мною найден пример, который, в частном случае, даёт ответ на вопрос. Пусть имеется n-гранная пирамида. Пусть величины её углов при вершине будут $$A_1,A_2,...A_n$$. Ясно, что $$(A_1 + A_2 +...+A_n) < 2\pi$$. Значит, существует вещественная положительная величина x, такая, что выполняется равенство: $$((A_1)^{x}+ (A_2)^{x}+...+ (A_n)^{x}) = (2\pi)$$, причём 0 < x < 1.$$ Пусть$$B_{1} = (A_{1})^{x}$$, $$B_{2} = (A_2)^{x}$$.... Сумма\ всех\ этих\ углов = 2\pi. Мы\ получили\ проекцию\ всех\ углов\ при\ вершине\ на\ основание\ пирамиды $$24.11.2013$$ Для октанта ПДСК x = ln 3/ln 4 = const

задан 26 Фев '12 19:23

изменен 14 Дек '15 11:17

Часть 2.2)- это n-мерное пространство, если направление каждого из n векторов принять за направление осей координат, и все направления свести в одну точку, начало координат. Составим из n векторов цепочку по принципу: конец первого вектора есть начало второго и т. д. Если начало цепочки и её конец совпадают с началом и концом одиночного вектора, получаем векторное равенство: главный вектор и его составляющие по осям координат, верёвочный многоугольник в теоретической механике и т. д. - ряд практических приложений. См Часть 3

(29 Фев '12 22:25) nikolaykruzh...

Часть 3. 3) - это неясная штука: векторное равенство невозможно без деформации векторов. Правда, существует такое значение x (x < 1), при котором возникает равенство суммы n модулей в степени x и модуля главного вектора в степени x. При всех y > x можно строить n-мерное векторное пространство и изучать его обычными способами. При всех z < x такое построение в принципе невозможно. Это всё, что я в силах сказать о 3)... Андрей Юрьевич, спасибо за ссылку на А. Н. Колмогорова. Я об этом не знал. Что же касается случая 3),то у Вас, к сожалению, я ответа не нашёл. См. Часть 4

(29 Фев '12 23:10) nikolaykruzh...

1D.Уважаемая Docentl! Меня интересуют нормы без неравенства треугольника, что выделено жирным шрифтом в самом вопросе. Но Вам такие исследования неизвестны. Я ничего изменять не хочу. Мне хотелось получить ответ на свой вопрос. Проще всего рассматривать двухмерное пространство - евклидову плоскость, ограниченную площадью гиперкругоида. Степенная функция - это всего лишь способ ограничения бесконечной плоскости чечевицеобразной фигурой. См. 2D

(1 Мар '12 21:47) nikolaykruzh...

2D.Каждая точка однозначно определяется модулями векторов a и b. Но вместе с ними возникает дополнительный параметр x (x > 1), зависимый от a, b и d и который только в трёх частных случаях может быть выражен в виде конкретной формулы череэ a, b и d. Но что, если x < 1? Снова тот же вопрос.

(1 Мар '12 22:02) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
0

Стандартная схема такая. Сначала выбирается некоторый способ суммирования (правило параллелограмма в геометрии, покоординатная сумма для координатой записи и т.п.) Потом, при необходимости, можно ввести норму (модуль, длину) вектора.
Видимо, Вы считаете, что модуль вектора вычисляется по евклиду. Но это не единственный способ.
Например, если вектор задается своими координатами, одна из норм - степенная: $%x = (x_1,x_2,...,x_n)$%, тогда $%||x||=(|x_1|^p+|x_2|^p+...+|x_n|^p)^{1/p}$%.
Обычно требуется, чтобы норма удовлетворяла неравенству треугольника, что выполняется, если $%p\geq 1$%. Наверное, кто-то изучает и нормы без неравенства треугольника, но мне такие исследования не известны.
Что хотите изменить Вы? Способ суммирования векторов? Или вычисления их нормы? Если первое - надо четче указать, как именно вы это делаете. Зная только длину "суммарного" вектора мы его самого не найдем. Если новый вектор "произвольный" то никакого геометрического смысла не возникает.

Дополнение. Думаю, надо все-таки определиться с объектами. В предыдущих задачах числа a, b, ... были у Вас некоторыми (недекартовыми) координатами точки, т.е. весь набор соответствовал одной точке (вектору). Теперь Вы рассматриваете более сложную конструкцию: векторы, длинами которых являются эти числа. Как я поняла, векторы рассматриваются в n-мерном пространстве с обычным (евклидовым) расстоянием, и сумма их ищется по правилу параллелограмма (что соответствует покоординатному сложению). Тогда для каждого набора векторов можно указать x > 1, чтобы выполнялось некоторое равенство. Параметр со значением x <1 таким способом получить нельзя.
Что Вы хотите изменить, чтобы получить x < 1? Способ суммирования? Или способ измерения длины? Или придумать еще какую-то конструкцию?

ссылка

отвечен 29 Фев '12 22:48

изменен 2 Мар '12 18:55

Уважаемая Docentl! Извините, уже поздно. Отвечу завтра. Соберусь с мыслями. Но благодарю Вас сегодня: Спасибо!

(1 Мар '12 0:02) nikolaykruzh...

Андрей Юрьевич! Я просил применить "школьный" вариант, но Вы снова топите меня в топологии. В векторной алгебре можно провести прямую между двумя точками и измерить её длину. Если есть обозначенные точки A и B и если они пространственно не совпадают, то для определения расстояния АB не требуется никакого знания функционалов: надо брать линейку и измерять. Или на применение линейки тоже требуется особое разрешение?

(1 Мар '12 22:21) nikolaykruzh...

См. дополнение к ответу

(2 Мар '12 15:18) Андрей Юрьевич

Для DocentI по поводу "неправильных" норм и метрик. В пространстве Минковского квадрат интервала может оказаться отрицательным. В теории относительности это интерпретируется как невозможность причинно-следственной связи между соответствующими событиями. Например, если мы с Вами отвечаем на один и тот же пост строго одновременно, мы не можем повлиять друг на друга. Аналогичный эффект наблюдается во всех псевдоэвклидовых пространствах.

(2 Мар '12 17:28) Андрей Юрьевич

Про Минковского я знаю, я по образованию геометр (правда, давно это было, более 25 лет назад). Там метрика вообще комплексная. Но, наверное, можно рассматривать вещественный функционал, подобный норме, но без неравенства треугольника. Правда, такой объект уж слишком общий.
Я столкнулась с такими метриками при изучении кластеризации и классификации. Там в некоторых случаях "мера различия" не удовлетворяет неравенству треугольника, но это не мешает применять ее для различения объектов.

(2 Мар '12 18:39) DocentI

Короче, мы с Вами друг друга понимаем...

(2 Мар '12 19:39) Андрей Юрьевич

осталось понять автора вопроса!

(2 Мар '12 20:48) DocentI

Если бы автор сам понимал, что он хочет понять!..

(3 Мар '12 0:19) nikolaykruzh...

Ответ на Дополнение. В уравнении кругоиды (См. вопрос от 25.02.2012 г.) x > 1. "Параметр со значением x < 1 таким способом получить нельзя". Почему же? Если (a + b) < d, то при некотором x < 1 в уравнении кругоиды возникает равенство, хотя самой кругоиды нет. Ни способ суммирования, ни способ измерения длины я не меняю. Я возвожу в степень каждое из чисел, суммирую меньшие два и получаю равенство, подобно тому, как это сделано и в случае x > 1. Всё симметрично, как и должно быть в науке. Только в случае x < 1 самой науки нет.

(3 Мар '12 1:00) nikolaykruzh...

При чем здесь кругоида? Нельзя получить равенство для длин векторов и длины их суммы! Например, если $%a^{1/2}+b^{1/2}=A^{1/2}$%, то $%A=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}>a+b$%. Но тогда A не может быть длиной суммы векторов a и b

(3 Мар '12 1:06) DocentI

Я не "ставлю в вину". Я говорю, что при стандартной схеме нельзя получить равенство с x < 1. Значит, надо ее менять. Вот я и спрашиваю, что именно Вы хотите менять: линейную составляющую (суммирование векторов) или метрическую (определение длины) или вообще строить другую схему?

(3 Мар '12 12:08) DocentI
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я сейчас увидел этот вопрос, и мне захотелось обратить внимание на один момент. Прочитав в том числе и комментарии, я заметил, что Вы считаете любое векторное пространство "по умолчанию" наделённым функцией длины, а также говорите об использовании "линейки" в качестве измерительного инструмента. Дело, однако, в том, что ситуация существенно сложнее.

Рассмотрим такой пример. Возьмём пространство многочленов степени не выше $%n$% от переменной $%t$%. Оно удовлетворяет всем аксиомам векторного пространства. Однако, если мы зададимся вопросом, какова "длина" между двумя "точками" этого пространства -- например, между многочленами $%2t^3-t+3$% и $%5t^2+3t-2$% (я взял первые попавшиеся многочлены), то становится понятно, что на этот вопрос нет готового ответа.

Теперь к вопросу о "линейке". Если иметь в виду обычную процедуру измерения длин и пытаться её обобщить на случай "абстрактных" линейных пространств, то окажется вот что. В "обычных" пространствах мы переносим линейку из одно места в другое, прикладываем её куда-то, делим на равные части и так далее. И в основе здесь лежит представление о равенстве длин отрезков. Оно должно предшествовать процедуре измерения. И если считать, что у нас уже есть это понятие в качестве готового, то возникает группа преобразований (в алгебраическом смысле слова), которые сохраняют длины отрезков. Верно и обратное: если задана группа преобразований линейного пространства, то "равными" будут считаться отрезки, которые можно перевести друг в друга посредством одного из преобразований.

Таким образом, чтобы о длине можно было говорить корректно, должно быть задано не только векторное пространство, но и его группа преобразований, которую можно выбирать по-разному. Можно считать, что она содержит все "сдвиги" пространства, но помимо этого она должна содержать и что-то ещё -- в противном случае геометрия получается "бедной". Скажем, в обычном евклидовом пространстве размерности 2 или 3 имеются также вращения, которые сохраняют длину, и именно этот факт определяет геометрические свойства пространства. В неевклидовом случае возникают свои преобразования и своя геометрия.

Если Вы хотите рассмотреть пространство с "длинами" для Вашего обобщения, где двойка в формулах евклидова расстояния заменена на что-то ещё, то надо смотреть, с какого рода группой преобразований это может быть связано. А без этого процедуру измерения длин (то есть "линейку") применить будет затруднительно.

ссылка

отвечен 28 Окт '13 1:14

@falcao! Спасибо Вам: Вы очень доступно объяснили вопрос о длинах. Но у меня нет пространства функций, что заметно из текста вопроса. Я использую ЛВП, которое обычно рассматривают в инженерных курсах: механики, энергетики и проч. нематематические специальности. Линейку в данном случае применить затруднительно потому, что, как я понимаю,отсутствует метрика, формула, согласно которой можно было бы измерять расстояния между точками рассматриваемого пространства. @MathTrbl представил мне некоторые теоретические материалы, но я пока не вижу выхода на нужные позиции..Группа преобразований Ф. Клейна?

(28 Окт '13 11:19) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: я понимаю, что пространства функций находятся в стороне от того, что Вас здесь в первую очередь интересует. Но я именно по этой причине их и упомянул. Потому что всем аксиомам векторного пространства они удовлетворяют, и коль скоро они не "вписываются" в нужный контекст, это говорит о том, что помимо структуры векторного пространства в Вашем случае должно быть ещё что-то. Это могло быть скалярное произведение, или структура нормы, или метрика, или задание группы преобразований, или что-то ещё. Феликс Клейн как раз обращал внимание на связь между группами и геометрией.

(28 Окт '13 15:01) falcao

@falcao.У меня возникают сомнения в том, что можно найти метрику, способ измерять расстояния между точками, расположенными внутри гиперкругоиды, именно потому, что степень отличается от 2.В то время как по формулам Пифагора расстояние между любыми двумя точками плоскости гиперкругоида можно определить, по формулам с примененеим степени x эти расстояния можно найти только для привязки данной точки к концам диаметра гиперкругоида - и никакие другие!Думаю, связано это с тем, что континуум кругоид образует частично евклидову, как бы разорванную внутри себя, "лоскутную", с дырами плоскость.

(26 Фев '14 0:03) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
0

Модуль вектора (норма) - это выпуклый функционал, поэтому для него выполняется неравенство (1). Если отказаться от выпуклости нормы, можно, например, поставить в соответствие каждому вектору его обратную длину |a|=1/a, тогда будет выполняться неравенство (3). Но есть ли в этом какой-то смысл - непонятно.

Продолжаю (см. комментарии ниже). Если мы исходим из варианта 2) "вектор-упорядоченная пара точек", то у нас должна быть предварительно задана метрика, причем, именно для точек и еще ДО введения понятия "вектор". Иначе понятие "пара точек" просто теряет смысл - их относительное расположение не определено. И уж тем более невозможно будет ввести понятие "длина вектора". Так что, хотите Вы или нет, придется сначала ввести метрику, а уж потом определить понятия "вектор" и "длина вектора".

Скорей всего, вы хотите ввести p-метрику Колмогорова $$r(x,y)=(|y_1-x_1|^p+|y_2-x_2|^p+...+|y_n-x_n|^p)^{1/p}$$. Это корректная метрика, для нее выполняется правило треугольника (см. Колмогоров, Фомин "Функциональный анализ"). Тогда модуль любого вектора a=(a1,a2...an), будет вычисляться по формуле $$|a|=(a_1^p+a_2^p+...a_n^p)^{1/p}$$, выпуклость при этом выполняется, т.е. выполняется ваше условие (1). Можно ввести и такую метрику, чтобы всегда выполнялось условие (3). Но, в любом случае, введение метрики - это введение правила вычисления модуля вектора, без метрики (в выбранной Вами аксиоматике)понятие "модуль вектора", да и само понятие "вектор" не существуют!

Отвечаю на комментарий. "Существует пространство, составленное из множества точек" - согласен. "Между любыми двумя точками можно провести направленный отрезок, вектор" - а вот это уже неправда! Если про пространство, кроме того, что оно состоит из точек, больше ничего неизвестно, никакого отрезка в нем провести нельзя (что такое отрезок в этом случае?). Это будет чистое топологическое пространство, понятие "отрезок" в нем не имеет смысла. "Выбираем единицу измерения и находим модуль вектора, скалярное выражение его длины" - а вот это сделать уж совсем невозможно без введения метрики! Собственно, введение метрики, это и есть (по определению) введение правила измерения расстояния между точками! Дальше комментировать не буду, нереализуемость всех дальнейших построений вытекает из этого противоречия.

По поводу разрешения на использование линейки. Такое разрешение требуется, и еще как требуется! Линейка - это физическая реализация математического понятия "метрика", причем, вполне конкретной метрики - квадратичной. Наше интуитивное представление о пространстве соответствует реальному пространству, в котором мы живем, т.е. метрическому пространству с квадратичной метрикой (ну, или почти с такой, если сделать поправку на общую теорию относительности). Как только мы отказываемся от квадратичной метрики, обо всех привычных аналогиях и наглядных образах можно забыть. Например, если мы вообще отказываемся от метрики, мы отказываемся от фиксации каждой точки на своем месте, пространство растекается как кисель, круг перестает отличаться от квадрата, а квадрат - от треугольника и.т.п.(это, собственно, и есть "чистое" топологическое пр-во). Введение метрики - это прибитие гвоздем каждой точки на свое место. При этом, все объекты, которые мы рассматриваем, включая упомянутую Вами линейку, являются какими-то множествами точек. Как Вы понимаете, в линейке, сделанной из "киселя" нет никакого смысла!

Перехожу от критики к конструктиву. Предлагаю следующую схему рассуждений.

  1. Аксиоматику пространства мы не трогаем - у нас стандартное евклидово пространство с квадратичной метрикой.
  2. В этом пространстве (евклидовом n-мерном) мы вводим некий новый объект (нужно определиться, что именно - гиперповерхность, оператор, скалярную функцию или что-то еще?) . Во всяком случае, это уже всегда можно сделать, в отличие от корректировки аксиоматики пространства.
  3. Подбираем этот объект таким образом, чтобы он обеспечивал выполнение заданных условий.

На таком пути можно что-то сделать.

ссылка

отвечен 27 Фев '12 14:45

изменен 6 Май '12 13:39

Давайте определимся с терминами 1) Что такое "вектор"? 2) Что такое "модуль вектора"? 3)Что такое "главный вектор?"

(28 Фев '12 0:02) Андрей Юрьевич

Если я правильно поняла, автор вводит некую операция на векторами (обобщенную сумму, зависящую от x), которая не удовлетворяет неравенству треугольника. Думаю, такие метрики (нормы) тоже кем-то изучаются.

(28 Фев '12 0:04) DocentI

Так вот, я бы хотел для начала определиться, о чем идет речь? Для этого необходимо получить ответ на 3 моих вопроса.

(28 Фев '12 0:26) Андрей Юрьевич

Да, вообще у этого автора способ изложения довольно сумбурный ((

(28 Фев '12 0:50) DocentI

Сумбурность - от нечёткости мышления, это мой недостаток со времён оных. Ко всему прочему - тугодум. Вектор и его модуль - обычные определения из векторной алгебры. Что касается главного вектора, то он существует как сумма заданных векторов в том случае, если сумма модулей меньших векторов больше модуля наибольшего вектора. Если же она меньше, то это... не знаю, что делать, потому и задал вопрос. Андрей Юрьевич, не обижайтесь на меня, пожалуйста, за поучительный тон: вообще-то говоря, он мне не свойственен.

(28 Фев '12 13:33) nikolaykruzh...

Понятие "вектор" можно определять по-разному. 1) Наиболее логичный подход - аксиоматический "вектор - это (по определению) элемент линейного пространства, т.е. множества с заданными операциями сложения и умножения на число". Понятие "норма" или "модуль" в линейном пространстве не определены. Для того, чтобы работать с этими понятиями, линейное пр-во достраивается до нормированного пр-ва введением нормы - функционала, ставящего в соответствие каждому элементу (вектору) некоторое число. В стандартной аксиоматике постулируется выпуклость этого функционала, т.е. Ваше равенство (1).

(28 Фев '12 17:07) Андрей Юрьевич

Выпуклость требуется для того, чтобы нормированное пр-во автоматически оказалось бы и метрическим, а каждый его элемент (вектор) можно было бы интерпретировать как радиус-вектор точки. 2) Введение понятия "вектор" в школьном курсе (а также для гуманитарных специальностей в вузе). В качестве исходных рассматриваются метрические пр-ва R2, R3, вектор вводится как упорядоченная пара точек с естественным определением длины (т.к. расстояние между точками уже определено). В этом случае Ваше неравенство (1) будет выполнено автоматически. 3) возможно, вы хотите определить вектор как-то по-другому...

(28 Фев '12 17:19) Андрей Юрьевич

Мне понятен Ваш "школьный" вариант 2),наиболее простой к восприятию. Однако здесь расстояние. в простейшем случае, определяется как иррациональность вида: $$(a ^ x + b ^ x) ^ 1/x = d$$ в случае, если все величины, кроме одной, известны (для случая (a + b)> d). Если же (a + b)< d, встаёт тот же вопрос. Нет неравенства треугольника, нет метрики... ничего нет.

(28 Фев '12 21:30) nikolaykruzh...

Часть 1. Начинаем всё сначала. Существует пространство, составленное из множества точек. Между любыми двумя точками можно провести направленный отрезок, вектор. Выбираем единицу измерения и находим модуль вектора, скалярное выражение его длины. Выберем n векторов. Измерим их модули. Сопоставим их сумму с модулем некоторого произвольно выбранного вектора. Возникает три случая. 1)сумма равна одиночному модулю; 2)сумма больше одиночного модуля; 3) сумма меньше одиночного модуля. В первом случае x = 1. Во втором x > 1 В третьем x < 1. 1)- это одномерное пространство. См Часть 2

(29 Фев '12 21:52) nikolaykruzh...

УD!(сокращение от "Уважаемая Docentl!")! Ваше $$A = (a^1/2 + b ^ 1/2) ^2 > (a + b)$$-печка, от которой я танцую. Предыдущее выражение из суммы корней - это то, к чему я стремлюсь: доказать, что из неравенства можно (и каким способом) получить равенство. Вы же мне ставите это в упрёк: что из равенства можно получить только неравенство. Сапор глухого со слепым. Причём я - и глухой, и слепой.

(3 Мар '12 11:39) nikolaykruzh...

Я не "ставлю в упрек". Я говорю, что при стандартной схеме нельзя получить равенство с x < 1. Значит, надо ее менять. Вот я и спрашиваю, что именно Вы хотите менять: линейную составляющую (суммирование векторов) или метрическую (определение длины) или вообще строить другую схему?

(3 Мар '12 12:09) DocentI
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,235
×71

задан
26 Фев '12 19:23

показан
1615 раз

обновлен
14 Дек '15 11:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru